Lo fascinante de la teoría de números

¡Paradoja de dormir!

Posted in Reflexión by ZetaSelberg on 15 octubre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Paradoja de dormir.



Por ahí en las redes sociales encontré esto. Espero les cause algo de gracia.

485935_491142560931843_1057551258_n

:).

Anuncios

Anexo: Demostración del teorema de Midy

Posted in Demostraciones, MegaPost, Números primos by ZetaSelberg on 13 octubre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Anexo: Demostración del teorema de Midy



 

Ya hace una semana vimos el teorema de Midy, al igual que tratamos varias formas y propiedades tipo Midy. Esta entrada es un anexo, un “plus”, en la cual daremos una demostración del teorema de Midy, siguiendo la exposición de Rademacher y Toeplitz en su libro “The enjoyment of mathematics: Selections from mathematics for the amateur”.


Antes de empezar a probar el teorema, necesitamos de algunos resultados acerca de fracciones, específicamente, en las cuales el numerador es menor que el denominador.

De ahora en adelante a/b denota una fracción irreducible, en la cual 1\leq a<b. Aquí vamos

Teorema 1. b no es de la forma 2^\alpha \cdot 5^\beta si y solo si la fracción es periódica.

(more…)

El teorema de Midy

Posted in Aritmética, ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes, MegaPost by ZetaSelberg on 6 octubre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección El teorema de Midy



Entre la cantidad de resultados obtenidos en teoría de números, cada vez encontramos uno que otro resultado que te deja algo perplejo, ya sea por su demostración, ya sea por su trascendencia, o por lo que dice propiamente el teorema.

En esta entrada está uno de esos resultados, quizás no tanto por su trascendencia o por su demostración… en este caso es mas por lo que dice.


El teorema de Midy: El curioso teorema en estado de latencia


El teorema de Midy nos habla acerca de una propiedad que cumple la expansión en decimales de ciertas fracciones. Propiamente, este teorema dice

Teorema: Sea a/p una fracción, donde a<p y p>5 es un número primo. Suponga además, que esta fracción, tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de dígitos en el periodo es par, esto es

\displaystyle\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2\cdots a_{2k-1}a_{2k}}

Si dividimos el periodo en dos mitades (los primeros k y los últimos k, a esta acción la llamaremos dividir en bloques) y los sumamos, obtenemos un número que consiste en solo nueves.

Bueno, hagamos un ejemplo para ver con precisión qué nos dice este teorema.

Veamos la fracción 1/7. La expansión decimal de esta fracción es

\displaystyle\frac{1}{7}=0.\overline{142857}

El periodo se compone de una cantidad par de dígitos, 6, llamaremos a esto la longitud del periodo, entonces tomemos el número y dividamos en dos bloques, los 3 primeros y los 3 últimos: 142 y 857, al sumarlos, dan

999

(more…)

… Ahora en Facebook…

Posted in Acerca de by ZetaSelberg on 4 octubre, 2013

Lo fascinante de la teoría de números da aviso a sus lectores que ahora está disponible una página en Facebook

Lo Fascinante de la Teoría de Números

En dicha página aparecerán noticias acerca de las diferentes publicaciones que haremos en el blog.

Buen fin de semana.

Demostrando que raíz de 2 es irracional: Ternas pitagóricas

Posted in ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes, Irracional by ZetaSelberg on 2 octubre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Demostrando que raíz de 2 es irracional: Ternas pitagóricas



 

¡Ajá! Una demostración mas…


Suponga que raíz de dos es racional. Escriba

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q},

donde p y q son primos relativos. Entonces, pasando q a multiplicar y elevando al cuadrado, obtenemos

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q}

q\sqrt{2}= p

2q^2= p^2

\boxed{q^2+q^2= p^2}.

De modo que la terna (q,q,p) es una terna pitagórica.

Como es una terna pitagórica existen m y n números naturales, con m>n, tal que

q=m^2-n^2

q=2mn

p=m^2+n^2

Por la segunda igualdad obtenemos que q es par, entonces, observando la primera vemos que m y n deben tener la misma paridad.

Caso 1. m y n son impares. En este caso m=2m_1+1n=2n_1+1, de modo que desarrollando la última igualdad, quedaría como

p=4m_1^2+4m_1+4n_1^2+4n_1+2

De modo que p es par al igual que q. Esto es una contradicción ya que son primos relativos.

Caso 2. m y n son pares. En tal caso m^2 y n^2 son ambos pares, luego m^2+n^2 es par, concluyendo que p es par al igual que q. Pero p y q son primos relativos. Contradicción.


Una demostración que no propone nada del otro mundo… pero es una demostración :D.



Referencias

  • Terna Pitagórica , Wikipedia. Consultada el 29 de septiembre de 2013 a la 1:34amTerna pitagórica.


Véase también

142857

Posted in ¡Qué curioso! by ZetaSelberg on 30 septiembre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección 142857



Una imagen para empezar la semana.


142857

😀



Referencias

  • David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin Group (London), 1987, p. 179.
  • La imagen fue hecha con el programa Geogebra.

Construyendo los números naturales (I): Axiomas de Peano.

Posted in Hechos Fascinantes, Reflexión by ZetaSelberg on 28 septiembre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Construyendo los números naturales (I): Axiomas de Peano.



En teoría de números, estudiamos las propiedades de los números naturales, su factorización, soluciones de ecuaciones y otro mundo de cosas que nos ha dado de qué hablar. En esta serie de entradas, haremos algo que debimos haber hecho hace un tiempo: Construir los números naturales.


Axiomas de Peano. Empezaremos con la definición mas conocida. Esta definición se caracteriza por ser axiomática, es decir, no decimos qué son los números o como son los objetos que están en el conjunto de números naturales; a cambio, decimos qué cumplen esos objetos.

Entonces, por ejemplo, nunca decimos qué es “2”, qué es “36” o qué es “1”, solo decimos que “2”, “36” y “1” cumplen tales condiciones que se proponen sus axiomas. Bien podemos cambiar ese “2” por otro objeto, por ejemplo, “\star “, podemos cambiar ese “36” por otro objeto, llámelo “\square” y además, cambiar el objeto “1” por “\triangle” y así con todos los números… siempre y cuando cumplan los axiomas, también serán el conjunto de los naturales.

Y bueno… ¿Cómo es el asunto acá? Denotemos por \mathbb{N} a un conjunto, conjunto que llamaremos: Números naturales. En principio, desconocemos qué hay en ese conjunto, pues no hemos dicho nada de él. Entonces empezaremos con este axioma.

Axioma 1: 0 pertenece al conjunto de números naturales.

Ya tenemos un elemento en nuestro conjunto \mathbb{N}. Este primer elemento se convertirá en nuestro generador de números naturales junto con una operación llamada “sucesor” o “incremento”. Tal operación la vamos a denotar por un signo + como exponente. Es decir, el sucesor de cero se escribe como 0^+.

Axioma 2: Si n pertenece a \mathbb{N} entonces n^+ pertenece a \mathbb{N}.

Este axioma me permite decir crear nuevos naturales a partir del antiguo, dado que solo basta con hacer la operación sucesor a un elemento que ya tengo y… ¡bingo! tengo otro natural… ¿cierto?.

(more…)

26…

Posted in ¡Qué curioso! by ZetaSelberg on 26 agosto, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección 26…



Y preciso hoy que es 26 de agosto…

El número más pequeño que no es palíndromo, pero su cuadrado sí lo es. (26^2=676)

π² Irracional implica infinitos primos

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección π² Irracional implica infinitos primos



¿Qué hay infinitos primos?… ese es cuento viejo, ¿que cuantas maneras hay para demostrarlo?… Muchas, ¿Me puede mostrar una? ¡Oh Sí!

Hoy les indicaré una demostración que si bien no es algo novedoso, es bien curiosa: \pi^2 irracional implica infinitos primos.


Todo tiene origen en una igualdad bastante conocida,

\zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}.

Donde \zeta es la función Zeta de Riemann. La otra parte de la demostración está en el siguiente hecho

\zeta(s)=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right)=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{p^s}{p^{s}-1}\right).

El producto va sobre todos los números primos. De este modo,

\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{p^2}{p^{2}-1}\right).

Sabemos que \pi^2 es irracional. Supongamos que hay finitos primos, entonces el producto de la derecha será finito, de este modo el miembro derecho es el producto finito de racionales… lo cual da un número racional, pero esto es una contradicción con el hecho de que \pi^2 es irracional. De modo que no pueden haber finitos primos.


Esta demostración es bastante interesante, pero si miramos el trasfondo de la misma, vemos que se usa bastante teoría: Representar \zeta como un producto nos lleva un rato, la demostración de \pi^2 irracional, nos quita un buen rato. Demostrar que \zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}… nos quita otro buen rato. De hecho es el famoso problema de Basilea (Véase: El problema de BasileaEl problema de Basilea II) 😀

Selberg acerca del último teorema de Fermat

Posted in ¡Qué curioso!, Citas Matemáticas, Reflexión by ZetaSelberg on 6 enero, 2012

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Selberg acerca del último teorema de Fermat



Repasando una de las entrevistas que dio Selberg, he encontrado una referencia de él acerca del UTF que he querido compartir. La entrevista fue hecha por  Nils A. Baas y Christian F. Skau. La original está en Noruego, dificíl para quien no habla el idioma, pero en Bulletin of the American Mathematical Society aparece una parte en inglés. A continuación coloco una traducción para su deleite.


Pregunta: Un famoso problema que fue resuelto unos años atrás fue el último teorema de Fermat. Muchos aclamaran este logro como una victoria para las matemáticas modernas, dicho logro requirió de una enorme maquinaria de herramientas modernas para lograr el objetivo. Nosotros tenemos una pregunta para ti acerca de esto. ¿Crees que aparecerá, con el tiempo, una demostración sencilla?, ¿O crees que este es el futuro, es decir, que necesitaremos gran maquinaria para resolver problemas aparentemente elementales tipo Fermat?

Respuesta: Es ciertamente posible que alguien encuentre una demostración más simple en el futuro. Yo no estoy habilitado para decir de qué manera será esta demostración. Hay dos problemas acá: Uno puede encontrar una gran simplificación de la prueba de la cual disponemos, la cual recae en la conexión de la curva cúbica que debe existir en caso de existir una solución a la ecuación de Fermat; pero también podría pasar que encontremos una demostración que no usa esta conexión. Yo no creo que alguien esté en disposición de re descubrir la demostración original de Fermat.

Pregunta: ¿Existe tal demostración?

Respuesta: Nadie puede vencer a Fermat, ¿Puede alguien? Él fue una persona muy inteligente, Fermat. No dudes acerca de eso.

Pregunta: ¿Pero tu realmente no crees que él tenía una demostración?

Respuesta: O él la tenía, y no pudo encontrar suficiente espacio para escribirla, o él descubrió después que esta demostración no estaba del todo correcta como él creía. Pero es poco probable que tuviera una prueba porque el sabía muy poco acerca de números algebraicos en ese entonces. Si todo anillo algebraico tuviera un bonito algoritmo de Euclides, entonces hubiese sido posible para él construir una demostración, pero tales algoritmos rara vez existen, de hecho.



Referencias