Lo fascinante de la teoría de números

Los primos que agrupan, o los primos de Erdös

Posted in Teoría de números aditiva by ZetaSelberg on 14 octubre, 2011

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Como vimos en una entrada anterior, existen gran variedad de números primos en teoría de números. Hoy en partícular hablaremos un poco acerca de los primos que agrupan, en inglés Cluster primes. 

Como bien lo dice el título, esta familia de primos fue definida por Erdös (y compañía) en un articulo publicado en enero de 1999 en el journal ‘The American Mathematical Monthly’. Pero veamos la definición

Definición: Un número primo p>2 se llama numero primo que agrupa si es  tal que para todo 0<n< p-2 número natural par, n puede ser escrito como la resta de dos primos q_1-q_2 donde ambos primos son menores o iguales a p.

Muy bien! Examinemos los primeros números primos

p=3: Dado que no hay ningún par que cumpla la condición, tenemos que el caso p=3 se cumple por rango vacio. Entonces es un primo que agrupa.

p=5: El único par a evaluar es 2, y para este caso 2=5-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=7: Dado que la descomposición anterior para 2 sigue funcionando, falta ver los demás pares. Esto es, falta ver el 4. Pero 4=7-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=11: Falta buscar descomposiciones para 6 y 8. 6=11-5, 8=11-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=13: Falta buscar descomposición para 10. 10=13-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=17: Falta buscar descomposición para 12 y 14. 12=17-5, 14=17-3. Entonces es un primo que agrupa.

Hagamos un último caso

p=19: Falta buscar descomposición para 16. 16=19-3. Entonces es un primo que agrupa.

¡Buuu! 😡 Aparentemente… ¡Todos los primos agrupan!… No!

Resulta que por la concentración de primos entre cero y noventa (por ejemplo) los primeros 23 primos impares agrupan. El primer número primo que no agrupa es el 97 (intente descomponer 88 de modo que se cumpla la condición).

Pero entonces, ¿Hay infinitos? Infortunadamente, no lo sabemos. En dicho artículo se hizo la observación que, de haber infinitos, se podría demostrar que p_{n+1}-p_n\leq 6 para infinitos valores de n, del cual sólo sabemos, como vimos en esta entrada, que funciona para 16 en lugar de 6.

Cómo único consuelo, nos queda saber el siguiente teorema

Teorema: Sea \pi_c(x) la cantidad de primos que agrupan menores o iguales a x, entonces para todo entero positivo s, existe un número positivo x_s tal que

\pi_c (x)<\displaystyle\frac{x}{(\log x)^s}

para todo x>x_s.


Referencias

  • Cluster Primes, Richard Blecksmith, Paul Erdös, J. L. Selfridge, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 1 (Jan., 1999), pp. 43-48.

El problema de Waring y la densidad de Shnirel’man

Posted in Teoría Analítica de números, Teoría de números aditiva by ZetaSelberg on 30 septiembre, 2011

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La teoría de números aditiva, trata el problema de representar un números enteros como suma de otros. Problemas como la conjetura de Goldbach son clásicos acá. Además del problema de calcular la función partición (Recuerdas la anécdota del conde MacMahon). Pero veamos otro problema bien conocido: el problema de Waring.

Para todo número natural k, existe otro número natural r tal que todo número se escribe como la suma de r números, cada uno de los cuales es una k potencia de un entero.

En lenguaje más matemático: para todo natural n, existe r_n, tal que todo número positivo, m, se escribe de la forma

m=\displaystyle\sum_{i=1}^{r_n} k_{i}^{n}

Con k_i enteros.

¡Ah! ¡Te vino Lagrange a la Cabeza con su teorema de los cuatro cuadrados! :).

Generalicemos un poco el problema: dado un conjunto de números enteros, ¿es posible que todo número entero pueda ser escrito como la suma de números de dicho conjunto?.  Este problema fue tratado por Shnirel’man y dicho conjunto se conoce por base aditiva.

Sea A un conjunto de números naturales. Defina el conjunto

hA=\{a_1+a_2+\cdots+a_h:a_{i}\in A\}

Esto es, hA consiste en el conjunto de todos aquellos números que se escriben como suma de h números en A. Decimos que A es una base aditiva, si existe un natural h tal que hA=\mathbb{N}.

Hagamos un ejemplo para entender bien esta definición: Denotemos por \mathbb{P} al conjunto de números primos, \mathbb{N}_2 al conjunto de todos los números naturales pares. La conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor a cuatro se escribe como la suma de dos números primos. Usando la definición de bases aditivas, la conjetura de Goldbach se puede reescribir como

\mathbb{N}_2-\{2\}=2\mathbb{P}

Sencillo!

Defina el conjunto \mathbb{K}=\mathbb{P}\cup\{0,1\}.

Desde el principio Shnirel’man le apuntó a la conjetura de Goldbach… y vaya que casi lo logra. El resultado que Shnirel’man obtuvo, fue que existía un número natural h, tal que h\mathbb{K}=\mathbb{N}. Escrito de otra forma

Existe un número natural h tal que todo número natural se escribe como la suma de a lo sumo h números primos.

seguido a esto demostró que todo número par se escribía como la suma de un número acotado de primos. Lo fascinante es la manera en la cual él obtuvo sus resultados.

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Google y su Doodle de Fermat

Posted in ¡Qué curioso!, Números primos, Teoría de números aditiva by ZetaSelberg on 17 agosto, 2011

Muchos somos los que tenemos la página de Google como página de inicio. Hoy me llevé la alegre sorpresa de ver esta imagen cuando abrí mi navegador

Doodle - Fermat

Doodle en dedicado a Fermat

¿La razón? Hoy hace 410 años nació Pierre de Fermat, un matemático (y jurista) que aportó mucho a las matemáticas. Hagamos una pequeña lista.

  • El pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es un número natural, primo relativo a p entonces a^{p-1}\equiv 1 \mod p
  • El teorema de Fermat en análisis: Si una función f alcanza un máximo o mínimo local en c, y si la derivada f^{\prime}(c) existe en el punto c, entonces f^{\prime}(c)=0.
  • Acerca de primos que se expresan como suma de dos Cuadrados: Un número primo p se expresa como la suma de dos cuadrados si y sólo si p\equiv 1 \mod 4p\equiv 2 \mod 3.
  • Esto lo dijo Fermat[1] y lo demostró Gauss, que luego escribió de esta forma (Hacer click en la ecuación para ver el teorema en Wikipedia)

\ast\ast E\boldsymbol{\Upsilon}PHKA\,\, num=\Delta+\Delta+\Delta.

Y por último, la vieja conocida

Sea n>2, entonces no existen x,y,z números naturales mayores o iguales a 1 que cumplen la ecuación x^n+y^n=z^n.

–Fermat


Actualización:

  • Así como lo apuntó coquitao en el primer comentario, el teorema como es mostrado en la imagen no está del todo correcto, faltan condiciones sobre x, y y z.
  • Si entran en la página de Google de Reino Unido, al poner el ratón sobre el Doodle aparece un texto bastante conocido… Acá les dejo el link para que prueben.

Google – Reino Unido

  • Para los que no alcanzaron a ver el texto que aparecía en el Doodle, les dejo una imagen
Doodle con texto en español

Doodle con texto en español

Sip! Es la versión Doodle de la famosa frase que escribió Fermat en el margen de el libro Aritmética de Diofanto, asegurando tener una demostración maravillosa de este teorema, pero muy larga para el margen sobre el cual escribía la nota. Puede que tal demostración maravillosa no exista, teniendo en cuenta la demostración de Andrew Wiles, quizás el gran Fermat se equivocó… Se imaginan si en vez de márgenes Fermat hubiera utilizado tweets para sus ‘notas’.


Referencias

Notas al Pie

[1] Fermat dijo que él lo demostró, sin embargo nunca se encontró tal demostración… al igual que nunca se encontró la maravillosa demostración del último teorema de Fermat.

Primos gemelos: Un vistazo a algunos resultados.

Entre los problemas abiertos en teoría de números, uno de los más conocidos es La conjetura de los primos gemelos. Esta conjetura habla acerca de la existencia de parejas de números primos tales que su diferencia es 2. En términos mas matemáticos

Conjetura: Existen infinitos números primos p_i tal que p_i+2 también es primo.

Esta conjetura ha sido trabajada por mucho tiempo, además de estar relacionada con la famosa conjetura de Goldbach. Alphonse de Polignac fue quien propuso el problema pero de una manera más general.

Para todo k entero positivo y par, existen infinitos primos cuya diferencia es el número par.

A continuación haré un recuento de los resultados más notables que se han logrado acerca de esta conjetura. Quisiera decirlos todos, pero no puedo, no sólo porque no tengo conocimiento de todos, si no por que hay que resaltar algunos sobre otros.

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El problema…

Sea C(n), el número de formas de escribir n como la suma de dos cuadrados.

Demostrar que

\displaystyle\sum_{1\leq n\leq x}C(n)\sim\pi x

¡Vamos Muchachos! ¡Quiero sus soluciones!

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