Lo fascinante de la teoría de números

Lo fascinante de la teoría de números… se muda

Posted in Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 22 junio, 2016

Después de un poco más de dos años, regresé al blog. Esta vez he adquirido un dominio, así que el blog se ha trasladado a una nueva dirección web.

http://matematicas.sselbergg.com

Todas las entradas que han sido publicadas en este sitio se han replicado en la nueva página web. Como es de esperar, algunas nuevas funciones serán introducidas. Una nueva (por ahora la única) es que hay un tiempo límite de 15 minutos para hacer ediciones de las entradas. Además de esto, he cambiado el logo del blog.

favicon

El dibujo que encuentran a la izquierda está basado en la gráfica de la función \zeta(1/2+it) (Véase).

Nos vemos en la próxima entrada en la nueva dirección 🙂

Anuncios

Experimento: Determinando números primos con eventos aleatorios

Posted in Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 14 noviembre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Experimento: Determinando números primos con eventos aleatorios



Seguimos con el cuento de los primos. Esta entrada no es tan teórica, es más experimental. Hace unos días hablamos acerca de generar primos usando funciones, vimos que con polinomios el asunto es bastante grave. Demostramos que existe una función exponencial (compuesta con la función parte entera) que siempre es primo. Sin embargo, vimos que las dificultades a la hora de calcular las constantes que tienen dicha función, nos dejan tan lejos como cuando teníamos nada.

Mientras escribía esa entrada, recordaba palabras de un profesor mío, en las cuales hablaba de la aleatoriedad que aparentan tener los números primos. Recordaba que él me decía que el teorema de los números primos parece decir que al escoger un número entre cero y un valor N, la probabilidad de ser un número primo es cercano al valor 1/\ln(N). Recordé además muchas cosas que me dijo acerca de la función \mu de Möbius y aleatoriedad. Sin embargo, lo que me vino a la mente fue eso acerca de que tiene probabilidad 1/\ln(N). Entonces me hice la pregunta.

Si determinamos un número primo usando el azar… ¿Qué podemos concluir?

Es decir, si para saber si 8237 es primo, lo que hacemos es lanzar una moneda y dependiendo del resultado decidimos si será o no un número primo. No busco hallar una correspondencia verdadera ni resultados verídicos. Es decir, al estar jugando con el azar, nos podría dar que 10 es un número primo. Además, partiendo del hecho que el teorema de los números primos nos indica que dicha probabilidad es de 1/\ln(N), usar una moneda (en la cual la probabilidad es de un medio) ya estamos en contra de la teoría. Lo único que busco es experimentar.

De este modo, realicé tres experimentos. El primero con una moneda, el segundo usando un programa que genera números aleatorios y el tercero lanzando tres dados.

(more…)

Funciones que generan números primos

Posted in Demostraciones, MegaPost, Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 4 noviembre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Funciones que generan números primos



Ya hemos tratado varias veces el tema de los números primos, sabemos que hay una cantidad infinita, que el uno no es considerado un número primo, y que ciertos primos cumplen ciertas propiedades. Nuestra pregunta ahora es acerca de como encontrar primos.

Como sucede con otros objetos en matemáticas, una vez construimos el objeto, queremos algo que nos genere eso. Es una pregunta que está muy asociada a encontrar o determinar qué objetos cumplen nuestra propiedad característica. Podríamos entonces decir que un método de cribado, como la criba de Eratóstenes, nos permite “generar” primos. Sin embargo la sensación no es como tal, pues este método de cribado es un algoritmo que requiere de unos pasos por medio del cual, a partir de una lista de números, decimos cuales son primos y cuales compuestos. Esto no corresponde al concepto de generar, generar se asocia a la sensación de una máquina que produce lo que yo quiero. Esta acción es producida por las funciones. Como bien saben una función f es una “maquina” que a partir de un elemento x produce un elemento f(x). Y es de eso de lo que les vengo a hablar de funciones que generan números primos.


Euler, Legendre y demás


Empezamos con un grande de la teoría de números y las matemáticas en general. Leonard Euler encontró un polinomio que generaba primos… hasta un cierto punto. El famoso polinomio de Euler

\boxed{P(n)=n^2+n+41},

el cual toma el valor de un número primo para todo n entre cero y treinta y nueve. Siendo 41 el primo mas pequeño que nos genera y 1601 el más grande. Posteriormente se encontraron otros, por ejemplo Adrien-Marie Legendre encontró que el polinomio

P(n)=n^2+n+17

También genera números primos, sin embargo, solo cuando n va desde cero hasta quince, quedando corto ante el polinomio de Euler. Legendre encontró otro polinomio

P(n)=2n^2+39

Este último toma valores primos para cualquier n entre cero y veinte y nueve.

(more…)

Números cíclicos

Posted in ¡Qué curioso!, MegaPost, Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 18 octubre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Números cíclicos



 

Hace varias semanas vimos como el número 142857, cumple una curiosa propiedad

Al multiplicarlo por algún número entre uno y seis, se permutan sus números.

Y no es el único número que hace esto, otro ejemplo es el número

052631578947368421.

¿Crees que no? Ajá, pues mira.

052631578947368421\cdot 2=105263157894736842

052631578947368421\cdot 3=157894736842105263

052631578947368421\cdot 4=210526315789473684

052631578947368421\cdot 5=263157894736842105

052631578947368421\cdot 6=315789473684210526

\cdot

\cdot

\cdot

Y ejemplos los hay por montones.

(more…)

π² Irracional implica infinitos primos

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección π² Irracional implica infinitos primos



¿Qué hay infinitos primos?… ese es cuento viejo, ¿que cuantas maneras hay para demostrarlo?… Muchas, ¿Me puede mostrar una? ¡Oh Sí!

Hoy les indicaré una demostración que si bien no es algo novedoso, es bien curiosa: \pi^2 irracional implica infinitos primos.


Todo tiene origen en una igualdad bastante conocida,

\zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}.

Donde \zeta es la función Zeta de Riemann. La otra parte de la demostración está en el siguiente hecho

\zeta(s)=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right)=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{p^s}{p^{s}-1}\right).

El producto va sobre todos los números primos. De este modo,

\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{p^2}{p^{2}-1}\right).

Sabemos que \pi^2 es irracional. Supongamos que hay finitos primos, entonces el producto de la derecha será finito, de este modo el miembro derecho es el producto finito de racionales… lo cual da un número racional, pero esto es una contradicción con el hecho de que \pi^2 es irracional. De modo que no pueden haber finitos primos.


Esta demostración es bastante interesante, pero si miramos el trasfondo de la misma, vemos que se usa bastante teoría: Representar \zeta como un producto nos lleva un rato, la demostración de \pi^2 irracional, nos quita un buen rato. Demostrar que \zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}… nos quita otro buen rato. De hecho es el famoso problema de Basilea (Véase: El problema de BasileaEl problema de Basilea II) 😀

Demostrando que raíz de 2 es irracional: La demostración de Ivan Niven et. al.

Posted in Irracional, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 31 diciembre, 2011

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Demostrando que raíz de 2 es irracional: La demostración de Ivan Niven et. al.



Que raíz de 2 es irracional… eso ya lo sabemos. Lo que nos queda es preguntar: ¿Cual demostración te sabes? Acá les traigo una de Ivan Niven y Maier.


Así como muchas otras demostraciones, supongamos que es racional y escribamos

\sqrt{2}=a/b,

donde la fracción es irreducible, en ese sentido, b es el mínimo valor positivo que puede ir en el denominador, con el cual se puede representar la raíz de 2 como una fracción. Como 1<\sqrt{2}<2, obtenemos que b<a<2b y entonces 0<a-b<b. Por otro lado,

a^2=2b^2

a^2-ab=2b^2-ab

a(a-b)=b(2b-a)

\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{2b-a}{a-b}

Hemos acabado, por que de este modo

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{2b-a}{a-b}

Donde, a-b<b… lo cual contradice la hipótesis.


Como pueden ver, una demostración muy sencilla. Como es de sospechar, este método se puede generalizar.


Referencias

  • E. A. Maier and Ivan Niven, A Method of Establishing Certain Irrationalities, Mathematics Magazine, Vol. 37, No. 4 (Sep., 1964), pp. 208-210

Reconozco que la actividad del blog ha bajado de una manera tremenda (Hasta el punto de ser nula). Debo reconocer que al tomar riendas de este proyecto no medí bien los tiempos, y ahora me está pasando la cuenta.

Para el 2012 (que empieza en 16 horas en el país en el que resido) prometo cuadrar calendario para el blog. Por el momento debo pedir disculpas :(.

Dios y la Hipótesis de Riemann

Posted in ¡Qué curioso!, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 19 noviembre, 2011

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Dios y la Hipótesis de Riemann



Ya que esta semana vimos un resultado acerca de la hipótesis de Riemann (El teorema de Levinson), les dejo un comic relacionado con HR.

HR

De seguro reconoces estos dibujitos, fueron tomados de acá: http://abstrusegoose.com/395. Sitio bastante recomendable.

El teorema de Levinson y la Hipótesis de Riemann

Posted in Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 16 noviembre, 2011

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección El teorema de Levinson y la Hipótesis de Riemann



Todos conocemos, hemos escuchado, o al menos hemos visto una referencia a la hipótesis de Riemann. Conocemos que es un problema abierto y bien interesante. Esta entrada no trata acerca de la hipótesis de Riemann (HR), si no acerca de un resultado muy interesante acerca del tema. Veamos

Para repasar lo que es la HR, definamos la función zeta de Riemann

Definición. La función zeta de Riemann se define como

\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}

Esta función está definida para todo s número complejo tal que \Re(s)>1.

Nada de nervios! Tenemos una función contenta definida sobre medio plano (del plano complejo).

Riemann observo que esta puede extenderse (analíticamente) a todo el plano complejo a excepción de s=1 donde tiene un polo. A esto se le llama continuación analítica.

Seguido a esto vienen resultados como que en los pares negativos la función toma el valor de cero, que la función de Riemann cumple una ecuación funcional (la cual se obtiene de la continuación analítica), que \zeta(0)=-1/2, que \zeta(3) (La constante de Apéry) es un número irracional… y cosas así.

Pero volviendo a las observaciones de Riemann, él dijo, “A caramba, parece que los otros ceros (los que no están en los pares negativos) tienen todos parte real 1/2” Bueno, quizás lo dijo en otras palabras… y en alemán, pero en esencia es lo que dijo. Veamos.

(more…)

60 lo divide

Posted in Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 17 octubre, 2011

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección 60 lo divide



Les dejo el problema de la semana

Sean a,b y c tal que a^2+b^2=c^2. Comprobar que 60|abc.

¡Feliz semana!

Los primos que agrupan, o los primos de Erdös

Posted in Teoría de números aditiva by ZetaSelberg on 14 octubre, 2011

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Los primos que agrupan, o los primos de Erdös



Como vimos en una entrada anterior, existen gran variedad de números primos en teoría de números. Hoy en partícular hablaremos un poco acerca de los primos que agrupan, en inglés Cluster primes. 

Como bien lo dice el título, esta familia de primos fue definida por Erdös (y compañía) en un articulo publicado en enero de 1999 en el journal ‘The American Mathematical Monthly’. Pero veamos la definición

Definición: Un número primo p>2 se llama numero primo que agrupa si es  tal que para todo 0<n< p-2 número natural par, n puede ser escrito como la resta de dos primos q_1-q_2 donde ambos primos son menores o iguales a p.

Muy bien! Examinemos los primeros números primos

p=3: Dado que no hay ningún par que cumpla la condición, tenemos que el caso p=3 se cumple por rango vacio. Entonces es un primo que agrupa.

p=5: El único par a evaluar es 2, y para este caso 2=5-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=7: Dado que la descomposición anterior para 2 sigue funcionando, falta ver los demás pares. Esto es, falta ver el 4. Pero 4=7-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=11: Falta buscar descomposiciones para 6 y 8. 6=11-5, 8=11-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=13: Falta buscar descomposición para 10. 10=13-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=17: Falta buscar descomposición para 12 y 14. 12=17-5, 14=17-3. Entonces es un primo que agrupa.

Hagamos un último caso

p=19: Falta buscar descomposición para 16. 16=19-3. Entonces es un primo que agrupa.

¡Buuu! 😡 Aparentemente… ¡Todos los primos agrupan!… No!

Resulta que por la concentración de primos entre cero y noventa (por ejemplo) los primeros 23 primos impares agrupan. El primer número primo que no agrupa es el 97 (intente descomponer 88 de modo que se cumpla la condición).

Pero entonces, ¿Hay infinitos? Infortunadamente, no lo sabemos. En dicho artículo se hizo la observación que, de haber infinitos, se podría demostrar que p_{n+1}-p_n\leq 6 para infinitos valores de n, del cual sólo sabemos, como vimos en esta entrada, que funciona para 16 en lugar de 6.

Cómo único consuelo, nos queda saber el siguiente teorema

Teorema: Sea \pi_c(x) la cantidad de primos que agrupan menores o iguales a x, entonces para todo entero positivo s, existe un número positivo x_s tal que

\pi_c (x)<\displaystyle\frac{x}{(\log x)^s}

para todo x>x_s.


Referencias

  • Cluster Primes, Richard Blecksmith, Paul Erdös, J. L. Selfridge, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 1 (Jan., 1999), pp. 43-48.