Lo fascinante de la teoría de números

Los diez mejores matemáticos según la revista The Guardian

Posted in Biografia, Reflexión by ZetaSelberg on 5 enero, 2014

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Hace ya unos años la revista Británica The Guardian, publicó una lista de lo que serían, para el autor de dicho artículo, los diez mejores matemáticos de la historia. La intención de esta entrada es exponer esa lista, basado totalmente en el artículo original. Dicho artículo data del año 2010.

Empecemos entonces por aclarar que Alex Bellos, el autor del artículo original, basa su lista en: “Genios matemáticos, cuyos aportes revolucionaron nuestro mundo”.

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El número que era primo… pero ya no

Posted in Aritmética, Números primos, Reflexión by ZetaSelberg on 28 octubre, 2013

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Hace un poco más de medio siglo, existía un número que hacía parte de nuestra querida familia de números primos. Conforme pasó el tiempo, sucedieron cosas, las matemáticas fueron evolucionando, se siguieron desarrollando teorías (Como de hecho aún sucede) que fueron excluyendo a un elemento de esa familia. Las matemáticas en general se siguen desarrollando, inconsciente o no, de que en algún momento existió un elemento que estaba entre los selectos, esos números que día a día miles de matemáticos se van de cabeza contra hojas y pizarras, armados de lápiz, marcadores o tizas, con tal de encontrarle propiedades. Esos que vivimos re-descubriendo día a día… porque son los números elegidos, son los distintos, los consentidos, los mimados.

Esta es una breve reseña del uno, y del por qué ya no se considera un número primo.


Euclides


El libro “Los elementos” de Euclides son nuestro primer referente acerca de números primos. En el libro VII encontramos la definición de número primo.

Euclides empieza definiendo lo que es una unidad:

Definición 1[Libro VII – Elementos]. Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una.

A lo que se refiere Euclides es que una unidad (o la unidad en algunos casos) es aquel elemento con el cual construimos otros. Por ejemplo, si nuestra unidad es el siguiente cuadro

unidad

Lo elementos que podemos formar, son todos los que podamos formar a partir de estos

unidad-2

Lo que se debe cumplir es que todo se componga de esta (o estas) unidades. Como lo estipula en la segunda definición

Definición 2[Libro VII – Elementos]. Un número es una pluralidad compuesta de unidades.

El siguiente concepto es el que asociamos a divisivilidad.

Definición 3[Libro VII – Elementos]. Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor.

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¡Paradoja de dormir!

Posted in Reflexión by ZetaSelberg on 15 octubre, 2013

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Por ahí en las redes sociales encontré esto. Espero les cause algo de gracia.

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:).

Construyendo los números naturales (I): Axiomas de Peano.

Posted in Hechos Fascinantes, Reflexión by ZetaSelberg on 28 septiembre, 2013

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En teoría de números, estudiamos las propiedades de los números naturales, su factorización, soluciones de ecuaciones y otro mundo de cosas que nos ha dado de qué hablar. En esta serie de entradas, haremos algo que debimos haber hecho hace un tiempo: Construir los números naturales.


Axiomas de Peano. Empezaremos con la definición mas conocida. Esta definición se caracteriza por ser axiomática, es decir, no decimos qué son los números o como son los objetos que están en el conjunto de números naturales; a cambio, decimos qué cumplen esos objetos.

Entonces, por ejemplo, nunca decimos qué es “2”, qué es “36” o qué es “1”, solo decimos que “2”, “36” y “1” cumplen tales condiciones que se proponen sus axiomas. Bien podemos cambiar ese “2” por otro objeto, por ejemplo, “\star “, podemos cambiar ese “36” por otro objeto, llámelo “\square” y además, cambiar el objeto “1” por “\triangle” y así con todos los números… siempre y cuando cumplan los axiomas, también serán el conjunto de los naturales.

Y bueno… ¿Cómo es el asunto acá? Denotemos por \mathbb{N} a un conjunto, conjunto que llamaremos: Números naturales. En principio, desconocemos qué hay en ese conjunto, pues no hemos dicho nada de él. Entonces empezaremos con este axioma.

Axioma 1: 0 pertenece al conjunto de números naturales.

Ya tenemos un elemento en nuestro conjunto \mathbb{N}. Este primer elemento se convertirá en nuestro generador de números naturales junto con una operación llamada “sucesor” o “incremento”. Tal operación la vamos a denotar por un signo + como exponente. Es decir, el sucesor de cero se escribe como 0^+.

Axioma 2: Si n pertenece a \mathbb{N} entonces n^+ pertenece a \mathbb{N}.

Este axioma me permite decir crear nuevos naturales a partir del antiguo, dado que solo basta con hacer la operación sucesor a un elemento que ya tengo y… ¡bingo! tengo otro natural… ¿cierto?.

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Selberg acerca del último teorema de Fermat

Posted in ¡Qué curioso!, Citas Matemáticas, Reflexión by ZetaSelberg on 6 enero, 2012

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Repasando una de las entrevistas que dio Selberg, he encontrado una referencia de él acerca del UTF que he querido compartir. La entrevista fue hecha por  Nils A. Baas y Christian F. Skau. La original está en Noruego, dificíl para quien no habla el idioma, pero en Bulletin of the American Mathematical Society aparece una parte en inglés. A continuación coloco una traducción para su deleite.


Pregunta: Un famoso problema que fue resuelto unos años atrás fue el último teorema de Fermat. Muchos aclamaran este logro como una victoria para las matemáticas modernas, dicho logro requirió de una enorme maquinaria de herramientas modernas para lograr el objetivo. Nosotros tenemos una pregunta para ti acerca de esto. ¿Crees que aparecerá, con el tiempo, una demostración sencilla?, ¿O crees que este es el futuro, es decir, que necesitaremos gran maquinaria para resolver problemas aparentemente elementales tipo Fermat?

Respuesta: Es ciertamente posible que alguien encuentre una demostración más simple en el futuro. Yo no estoy habilitado para decir de qué manera será esta demostración. Hay dos problemas acá: Uno puede encontrar una gran simplificación de la prueba de la cual disponemos, la cual recae en la conexión de la curva cúbica que debe existir en caso de existir una solución a la ecuación de Fermat; pero también podría pasar que encontremos una demostración que no usa esta conexión. Yo no creo que alguien esté en disposición de re descubrir la demostración original de Fermat.

Pregunta: ¿Existe tal demostración?

Respuesta: Nadie puede vencer a Fermat, ¿Puede alguien? Él fue una persona muy inteligente, Fermat. No dudes acerca de eso.

Pregunta: ¿Pero tu realmente no crees que él tenía una demostración?

Respuesta: O él la tenía, y no pudo encontrar suficiente espacio para escribirla, o él descubrió después que esta demostración no estaba del todo correcta como él creía. Pero es poco probable que tuviera una prueba porque el sabía muy poco acerca de números algebraicos en ese entonces. Si todo anillo algebraico tuviera un bonito algoritmo de Euclides, entonces hubiese sido posible para él construir una demostración, pero tales algoritmos rara vez existen, de hecho.



Referencias