Lo fascinante de la teoría de números

Demostrando que la suma de los recíprocos de los primos diverge

Posted in Demostraciones, Números primos by ZetaSelberg on 25 noviembre, 2013

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Como sabemos, así como la suma de los inversos de los enteros positivos diverge, la suma de los inversos de los números primos también. En esta corta entrada revisaremos una corta demostración de este hecho dada por Dustin G. Mixon en la revista American Mathematical Montly.


Sea p_i el i-ésimo número primo, supongamos que la suma de los inversos de los números primos converge. Existe un valor k tal que

\displaystyle\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}<1.

Sea A el conjunto de todos los números cuyos factores primos son menores o iguales a p_k, sea B el conjunto de todos los números cuyos factores primos son mayores a p_k. Por el teorema fundamental de la aritmética, todo número puede ser representado como el producto ab donde a\in A y b\in B. Notemos ahora que

\displaystyle\sum_{a\in A}\frac{1}{a}=\sum_{n_1\geq 0}\cdots \sum_{n_k\geq 0}\frac{1}{p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}}=\left(\sum_{n_1\geq 0}\frac{1}{p_1^{n_1}}\right)\cdots\left(\sum_{n_k\geq 0}\frac{1}{p_k^{n_k}}\right).

Cada una de las sumas que aparecen en los productos es una suma geométrica, de modo que estas convergen, al ser el radio menor a uno. Es decir, podemos concluir que

\displaystyle\sum_{a\in A}\frac{1}{a}<\infty.

Ahora, sea B_m los elementos del conjunto B con exactamente m factores primos, no necesariamente distintos, entonces, teniendo en cuenta que el primo mas pequeño que aparece en esta factorización es p_{k+1}

\displaystyle\sum_{b\in B}\frac{1}{b}=\sum_{m=0}^\infty\sum_{b\in B_m}\frac{1}{b}\leq \sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}\right)^m.

Según la hipótesis del inicio, la suma

\displaystyle\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}=r<1,

de modo que al hacer la suma,

\displaystyle\sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}\right)^m=\sum_{m=0}^\infty r^m<\infty,

nos queda una serie geométrica que converge, es decir

\displaystyle\sum_{b\in B}\frac{1}{b}<\infty.

Ahora, note que

\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}=\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}\frac{1}{ab}=\left(\sum_{a\in A}\frac{1}{a}\right)\left(\sum_{b\in B}\frac{1}{b}\right)<\infty.

Lo cual es una contradicción, dado que la serie armónica diverge.


Referencias

Experimento: Determinando números primos con eventos aleatorios

Posted in Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 14 noviembre, 2013

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Seguimos con el cuento de los primos. Esta entrada no es tan teórica, es más experimental. Hace unos días hablamos acerca de generar primos usando funciones, vimos que con polinomios el asunto es bastante grave. Demostramos que existe una función exponencial (compuesta con la función parte entera) que siempre es primo. Sin embargo, vimos que las dificultades a la hora de calcular las constantes que tienen dicha función, nos dejan tan lejos como cuando teníamos nada.

Mientras escribía esa entrada, recordaba palabras de un profesor mío, en las cuales hablaba de la aleatoriedad que aparentan tener los números primos. Recordaba que él me decía que el teorema de los números primos parece decir que al escoger un número entre cero y un valor N, la probabilidad de ser un número primo es cercano al valor 1/\ln(N). Recordé además muchas cosas que me dijo acerca de la función \mu de Möbius y aleatoriedad. Sin embargo, lo que me vino a la mente fue eso acerca de que tiene probabilidad 1/\ln(N). Entonces me hice la pregunta.

Si determinamos un número primo usando el azar… ¿Qué podemos concluir?

Es decir, si para saber si 8237 es primo, lo que hacemos es lanzar una moneda y dependiendo del resultado decidimos si será o no un número primo. No busco hallar una correspondencia verdadera ni resultados verídicos. Es decir, al estar jugando con el azar, nos podría dar que 10 es un número primo. Además, partiendo del hecho que el teorema de los números primos nos indica que dicha probabilidad es de 1/\ln(N), usar una moneda (en la cual la probabilidad es de un medio) ya estamos en contra de la teoría. Lo único que busco es experimentar.

De este modo, realicé tres experimentos. El primero con una moneda, el segundo usando un programa que genera números aleatorios y el tercero lanzando tres dados.

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Pequeña demostración del pequeño teorema de Fermat

Posted in Demostraciones, Fermat, Números primos by ZetaSelberg on 10 noviembre, 2013

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El famosísimo Pequeño teorema de Fermat cuenta con varias demostraciones, muchas cortas, como pueden verlas en la Wikipedia en inglés. Hoy daremos una demostración basada en combinatoria.

Empezaremos con una definición para entrar en contexto.

Permutación Cíclica. Dada una cadena de símbolos, una permutación es en la cual se toma el primer elemento de la lista y se coloca de último. Por ejemplo, si tenemos la lista

SELBERG

Una permutación cíclica es

ELBERGS

En la cual tomé el primer elemento S y lo coloqué al final. Puedo también pasar de a dos o más elementos al final, de esta forma

\underline{SE}LBERG\to LBERG\underline{SE}

\underline{SEL}BERG\to BERG\underline{SEL}

\underline{SELBE}RG\to RG\underline{SELBE}.

Necesitaremos el siguiente resultado

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Funciones que generan números primos

Posted in Demostraciones, MegaPost, Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 4 noviembre, 2013

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Ya hemos tratado varias veces el tema de los números primos, sabemos que hay una cantidad infinita, que el uno no es considerado un número primo, y que ciertos primos cumplen ciertas propiedades. Nuestra pregunta ahora es acerca de como encontrar primos.

Como sucede con otros objetos en matemáticas, una vez construimos el objeto, queremos algo que nos genere eso. Es una pregunta que está muy asociada a encontrar o determinar qué objetos cumplen nuestra propiedad característica. Podríamos entonces decir que un método de cribado, como la criba de Eratóstenes, nos permite “generar” primos. Sin embargo la sensación no es como tal, pues este método de cribado es un algoritmo que requiere de unos pasos por medio del cual, a partir de una lista de números, decimos cuales son primos y cuales compuestos. Esto no corresponde al concepto de generar, generar se asocia a la sensación de una máquina que produce lo que yo quiero. Esta acción es producida por las funciones. Como bien saben una función f es una “maquina” que a partir de un elemento x produce un elemento f(x). Y es de eso de lo que les vengo a hablar de funciones que generan números primos.


Euler, Legendre y demás


Empezamos con un grande de la teoría de números y las matemáticas en general. Leonard Euler encontró un polinomio que generaba primos… hasta un cierto punto. El famoso polinomio de Euler

\boxed{P(n)=n^2+n+41},

el cual toma el valor de un número primo para todo n entre cero y treinta y nueve. Siendo 41 el primo mas pequeño que nos genera y 1601 el más grande. Posteriormente se encontraron otros, por ejemplo Adrien-Marie Legendre encontró que el polinomio

P(n)=n^2+n+17

También genera números primos, sin embargo, solo cuando n va desde cero hasta quince, quedando corto ante el polinomio de Euler. Legendre encontró otro polinomio

P(n)=2n^2+39

Este último toma valores primos para cualquier n entre cero y veinte y nueve.

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El número que era primo… pero ya no

Posted in Aritmética, Números primos, Reflexión by ZetaSelberg on 28 octubre, 2013

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Hace un poco más de medio siglo, existía un número que hacía parte de nuestra querida familia de números primos. Conforme pasó el tiempo, sucedieron cosas, las matemáticas fueron evolucionando, se siguieron desarrollando teorías (Como de hecho aún sucede) que fueron excluyendo a un elemento de esa familia. Las matemáticas en general se siguen desarrollando, inconsciente o no, de que en algún momento existió un elemento que estaba entre los selectos, esos números que día a día miles de matemáticos se van de cabeza contra hojas y pizarras, armados de lápiz, marcadores o tizas, con tal de encontrarle propiedades. Esos que vivimos re-descubriendo día a día… porque son los números elegidos, son los distintos, los consentidos, los mimados.

Esta es una breve reseña del uno, y del por qué ya no se considera un número primo.


Euclides


El libro “Los elementos” de Euclides son nuestro primer referente acerca de números primos. En el libro VII encontramos la definición de número primo.

Euclides empieza definiendo lo que es una unidad:

Definición 1[Libro VII – Elementos]. Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una.

A lo que se refiere Euclides es que una unidad (o la unidad en algunos casos) es aquel elemento con el cual construimos otros. Por ejemplo, si nuestra unidad es el siguiente cuadro

unidad

Lo elementos que podemos formar, son todos los que podamos formar a partir de estos

unidad-2

Lo que se debe cumplir es que todo se componga de esta (o estas) unidades. Como lo estipula en la segunda definición

Definición 2[Libro VII – Elementos]. Un número es una pluralidad compuesta de unidades.

El siguiente concepto es el que asociamos a divisivilidad.

Definición 3[Libro VII – Elementos]. Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor.

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Números cíclicos

Posted in ¡Qué curioso!, MegaPost, Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 18 octubre, 2013

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Hace varias semanas vimos como el número 142857, cumple una curiosa propiedad

Al multiplicarlo por algún número entre uno y seis, se permutan sus números.

Y no es el único número que hace esto, otro ejemplo es el número

052631578947368421.

¿Crees que no? Ajá, pues mira.

052631578947368421\cdot 2=105263157894736842

052631578947368421\cdot 3=157894736842105263

052631578947368421\cdot 4=210526315789473684

052631578947368421\cdot 5=263157894736842105

052631578947368421\cdot 6=315789473684210526

\cdot

\cdot

\cdot

Y ejemplos los hay por montones.

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Anexo: Demostración del teorema de Midy

Posted in Demostraciones, MegaPost, Números primos by ZetaSelberg on 13 octubre, 2013

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Ya hace una semana vimos el teorema de Midy, al igual que tratamos varias formas y propiedades tipo Midy. Esta entrada es un anexo, un “plus”, en la cual daremos una demostración del teorema de Midy, siguiendo la exposición de Rademacher y Toeplitz en su libro “The enjoyment of mathematics: Selections from mathematics for the amateur”.


Antes de empezar a probar el teorema, necesitamos de algunos resultados acerca de fracciones, específicamente, en las cuales el numerador es menor que el denominador.

De ahora en adelante a/b denota una fracción irreducible, en la cual 1\leq a<b. Aquí vamos

Teorema 1. b no es de la forma 2^\alpha \cdot 5^\beta si y solo si la fracción es periódica.

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π² Irracional implica infinitos primos

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¿Qué hay infinitos primos?… ese es cuento viejo, ¿que cuantas maneras hay para demostrarlo?… Muchas, ¿Me puede mostrar una? ¡Oh Sí!

Hoy les indicaré una demostración que si bien no es algo novedoso, es bien curiosa: \pi^2 irracional implica infinitos primos.


Todo tiene origen en una igualdad bastante conocida,

\zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}.

Donde \zeta es la función Zeta de Riemann. La otra parte de la demostración está en el siguiente hecho

\zeta(s)=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right)=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{p^s}{p^{s}-1}\right).

El producto va sobre todos los números primos. De este modo,

\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{p^2}{p^{2}-1}\right).

Sabemos que \pi^2 es irracional. Supongamos que hay finitos primos, entonces el producto de la derecha será finito, de este modo el miembro derecho es el producto finito de racionales… lo cual da un número racional, pero esto es una contradicción con el hecho de que \pi^2 es irracional. De modo que no pueden haber finitos primos.


Esta demostración es bastante interesante, pero si miramos el trasfondo de la misma, vemos que se usa bastante teoría: Representar \zeta como un producto nos lleva un rato, la demostración de \pi^2 irracional, nos quita un buen rato. Demostrar que \zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}… nos quita otro buen rato. De hecho es el famoso problema de Basilea (Véase: El problema de BasileaEl problema de Basilea II) 😀

Números primos: Los hay de colores y sabores.

Posted in Números primos by ZetaSelberg on 2 septiembre, 2011

Blog de teoría de números que no hable de números primos o no es blog, o no habla de teoría de números. A pesar de que ya hemos mostrado ciertos resultados acerca de esta familia de números… acá va una entrada dedicada a eso.

Si bien la definición es bien corta, la diversidad de primos es grande. Esta entrada se enfoca más en eso, en mostrar la diversidad de primos… con el tiempo habrá entradas que mostraran las interesantes propiedades de esta familia.

Empecemos con la gran familia, los números primos

Definición. Un número natural es un número primo si este es mayor a uno y sólo tiene dos divisores.

De estos números sabemos que hay infinitos, que sólo hay uno que es par, que si tomamos un natural n, siempre hay un primo mayor o igual a n y menor o igual a 2n… en fin, muchas cosas. Pero pasemos a los que además de ser primos, cumplen otras propiedades.

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Es cubo y es único

Posted in ¡Dime la solución!, Números primos by ZetaSelberg on 29 agosto, 2011

Vamos con el problema de la semana. Es uno bastante sencillo.

Demostrar que hay un único número primo p tal que 2\cdot p+1 es cubo.

Espero sus soluciones.


Referencias