Lo fascinante de la teoría de números

Funciones que generan números primos

Posted in Demostraciones, MegaPost, Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 4 noviembre, 2013

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Ya hemos tratado varias veces el tema de los números primos, sabemos que hay una cantidad infinita, que el uno no es considerado un número primo, y que ciertos primos cumplen ciertas propiedades. Nuestra pregunta ahora es acerca de como encontrar primos.

Como sucede con otros objetos en matemáticas, una vez construimos el objeto, queremos algo que nos genere eso. Es una pregunta que está muy asociada a encontrar o determinar qué objetos cumplen nuestra propiedad característica. Podríamos entonces decir que un método de cribado, como la criba de Eratóstenes, nos permite “generar” primos. Sin embargo la sensación no es como tal, pues este método de cribado es un algoritmo que requiere de unos pasos por medio del cual, a partir de una lista de números, decimos cuales son primos y cuales compuestos. Esto no corresponde al concepto de generar, generar se asocia a la sensación de una máquina que produce lo que yo quiero. Esta acción es producida por las funciones. Como bien saben una función f es una “maquina” que a partir de un elemento x produce un elemento f(x). Y es de eso de lo que les vengo a hablar de funciones que generan números primos.


Euler, Legendre y demás


Empezamos con un grande de la teoría de números y las matemáticas en general. Leonard Euler encontró un polinomio que generaba primos… hasta un cierto punto. El famoso polinomio de Euler

\boxed{P(n)=n^2+n+41},

el cual toma el valor de un número primo para todo n entre cero y treinta y nueve. Siendo 41 el primo mas pequeño que nos genera y 1601 el más grande. Posteriormente se encontraron otros, por ejemplo Adrien-Marie Legendre encontró que el polinomio

P(n)=n^2+n+17

También genera números primos, sin embargo, solo cuando n va desde cero hasta quince, quedando corto ante el polinomio de Euler. Legendre encontró otro polinomio

P(n)=2n^2+39

Este último toma valores primos para cualquier n entre cero y veinte y nueve.

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Números cíclicos

Posted in ¡Qué curioso!, MegaPost, Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 18 octubre, 2013

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Hace varias semanas vimos como el número 142857, cumple una curiosa propiedad

Al multiplicarlo por algún número entre uno y seis, se permutan sus números.

Y no es el único número que hace esto, otro ejemplo es el número

052631578947368421.

¿Crees que no? Ajá, pues mira.

052631578947368421\cdot 2=105263157894736842

052631578947368421\cdot 3=157894736842105263

052631578947368421\cdot 4=210526315789473684

052631578947368421\cdot 5=263157894736842105

052631578947368421\cdot 6=315789473684210526

\cdot

\cdot

\cdot

Y ejemplos los hay por montones.

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Anexo: Demostración del teorema de Midy

Posted in Demostraciones, MegaPost, Números primos by ZetaSelberg on 13 octubre, 2013

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Ya hace una semana vimos el teorema de Midy, al igual que tratamos varias formas y propiedades tipo Midy. Esta entrada es un anexo, un “plus”, en la cual daremos una demostración del teorema de Midy, siguiendo la exposición de Rademacher y Toeplitz en su libro “The enjoyment of mathematics: Selections from mathematics for the amateur”.


Antes de empezar a probar el teorema, necesitamos de algunos resultados acerca de fracciones, específicamente, en las cuales el numerador es menor que el denominador.

De ahora en adelante a/b denota una fracción irreducible, en la cual 1\leq a<b. Aquí vamos

Teorema 1. b no es de la forma 2^\alpha \cdot 5^\beta si y solo si la fracción es periódica.

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El teorema de Midy

Posted in Aritmética, ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes, MegaPost by ZetaSelberg on 6 octubre, 2013

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Entre la cantidad de resultados obtenidos en teoría de números, cada vez encontramos uno que otro resultado que te deja algo perplejo, ya sea por su demostración, ya sea por su trascendencia, o por lo que dice propiamente el teorema.

En esta entrada está uno de esos resultados, quizás no tanto por su trascendencia o por su demostración… en este caso es mas por lo que dice.


El teorema de Midy: El curioso teorema en estado de latencia


El teorema de Midy nos habla acerca de una propiedad que cumple la expansión en decimales de ciertas fracciones. Propiamente, este teorema dice

Teorema: Sea a/p una fracción, donde a<p y p>5 es un número primo. Suponga además, que esta fracción, tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de dígitos en el periodo es par, esto es

\displaystyle\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2\cdots a_{2k-1}a_{2k}}

Si dividimos el periodo en dos mitades (los primeros k y los últimos k, a esta acción la llamaremos dividir en bloques) y los sumamos, obtenemos un número que consiste en solo nueves.

Bueno, hagamos un ejemplo para ver con precisión qué nos dice este teorema.

Veamos la fracción 1/7. La expansión decimal de esta fracción es

\displaystyle\frac{1}{7}=0.\overline{142857}

El periodo se compone de una cantidad par de dígitos, 6, llamaremos a esto la longitud del periodo, entonces tomemos el número y dividamos en dos bloques, los 3 primeros y los 3 últimos: 142 y 857, al sumarlos, dan

999

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