Lo fascinante de la teoría de números

Demostrando que raíz de 2013 es irracional

Posted in Irracional by ZetaSelberg on 23 octubre, 2013

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Una como para levantar ánimos y sacudir la pereza.


Supongamos que es racional, entonces, escriba

\sqrt{2013}=\displaystyle\frac{a}{b}

donde ay b son primos relativos. Entonces podemos deducir que

2013=\displaystyle\frac{a^2}{b^2}

b^2 2013=a^2.

Dado que 3|2013 entonces 3|a^2. De modo que existe s<a tal que a^2=9s^2. Sustituyendo

b^2 2013=9s^2.

b^2 671=3s^2.

Como \gcd(3,671)=1, entonces 3|b^2, luego existe t<b tal que b^2=9t^2. Sustituyendo

9t^2 671=3s^2.

3t^2 671=s^2.

t^2 2013=s^2.

2013=\displaystyle\frac{s^2}{t^2}

\sqrt{2013}=\displaystyle\frac{s}{t} .

Esto es una contradicción, ya que tanto s y t son menores a a y b respectivamente… De hecho ya es una contradicción el hecho de que 3|a y 3|b, dado que por hipótesis a y b eran primos relativos.


😀

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Demostrando que raíz de 2 es irracional: Ternas pitagóricas

Posted in ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes, Irracional by ZetaSelberg on 2 octubre, 2013

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¡Ajá! Una demostración mas…


Suponga que raíz de dos es racional. Escriba

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q},

donde p y q son primos relativos. Entonces, pasando q a multiplicar y elevando al cuadrado, obtenemos

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q}

q\sqrt{2}= p

2q^2= p^2

\boxed{q^2+q^2= p^2}.

De modo que la terna (q,q,p) es una terna pitagórica.

Como es una terna pitagórica existen m y n números naturales, con m>n, tal que

q=m^2-n^2

q=2mn

p=m^2+n^2

Por la segunda igualdad obtenemos que q es par, entonces, observando la primera vemos que m y n deben tener la misma paridad.

Caso 1. m y n son impares. En este caso m=2m_1+1n=2n_1+1, de modo que desarrollando la última igualdad, quedaría como

p=4m_1^2+4m_1+4n_1^2+4n_1+2

De modo que p es par al igual que q. Esto es una contradicción ya que son primos relativos.

Caso 2. m y n son pares. En tal caso m^2 y n^2 son ambos pares, luego m^2+n^2 es par, concluyendo que p es par al igual que q. Pero p y q son primos relativos. Contradicción.


Una demostración que no propone nada del otro mundo… pero es una demostración :D.



Referencias

  • Terna Pitagórica , Wikipedia. Consultada el 29 de septiembre de 2013 a la 1:34amTerna pitagórica.


Véase también

π² Irracional implica infinitos primos

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¿Qué hay infinitos primos?… ese es cuento viejo, ¿que cuantas maneras hay para demostrarlo?… Muchas, ¿Me puede mostrar una? ¡Oh Sí!

Hoy les indicaré una demostración que si bien no es algo novedoso, es bien curiosa: \pi^2 irracional implica infinitos primos.


Todo tiene origen en una igualdad bastante conocida,

\zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}.

Donde \zeta es la función Zeta de Riemann. La otra parte de la demostración está en el siguiente hecho

\zeta(s)=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right)=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{p^s}{p^{s}-1}\right).

El producto va sobre todos los números primos. De este modo,

\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{p^2}{p^{2}-1}\right).

Sabemos que \pi^2 es irracional. Supongamos que hay finitos primos, entonces el producto de la derecha será finito, de este modo el miembro derecho es el producto finito de racionales… lo cual da un número racional, pero esto es una contradicción con el hecho de que \pi^2 es irracional. De modo que no pueden haber finitos primos.


Esta demostración es bastante interesante, pero si miramos el trasfondo de la misma, vemos que se usa bastante teoría: Representar \zeta como un producto nos lleva un rato, la demostración de \pi^2 irracional, nos quita un buen rato. Demostrar que \zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}… nos quita otro buen rato. De hecho es el famoso problema de Basilea (Véase: El problema de BasileaEl problema de Basilea II) 😀

Demostrando que raíz de 2 es irracional: La demostración de Ivan Niven et. al.

Posted in Irracional, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 31 diciembre, 2011

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Que raíz de 2 es irracional… eso ya lo sabemos. Lo que nos queda es preguntar: ¿Cual demostración te sabes? Acá les traigo una de Ivan Niven y Maier.


Así como muchas otras demostraciones, supongamos que es racional y escribamos

\sqrt{2}=a/b,

donde la fracción es irreducible, en ese sentido, b es el mínimo valor positivo que puede ir en el denominador, con el cual se puede representar la raíz de 2 como una fracción. Como 1<\sqrt{2}<2, obtenemos que b<a<2b y entonces 0<a-b<b. Por otro lado,

a^2=2b^2

a^2-ab=2b^2-ab

a(a-b)=b(2b-a)

\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{2b-a}{a-b}

Hemos acabado, por que de este modo

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{2b-a}{a-b}

Donde, a-b<b… lo cual contradice la hipótesis.


Como pueden ver, una demostración muy sencilla. Como es de sospechar, este método se puede generalizar.


Referencias

  • E. A. Maier and Ivan Niven, A Method of Establishing Certain Irrationalities, Mathematics Magazine, Vol. 37, No. 4 (Sep., 1964), pp. 208-210

Reconozco que la actividad del blog ha bajado de una manera tremenda (Hasta el punto de ser nula). Debo reconocer que al tomar riendas de este proyecto no medí bien los tiempos, y ahora me está pasando la cuenta.

Para el 2012 (que empieza en 16 horas en el país en el que resido) prometo cuadrar calendario para el blog. Por el momento debo pedir disculpas :(.