Lo fascinante de la teoría de números

El teorema de Midy

Posted in Aritmética, ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes, MegaPost by ZetaSelberg on 6 octubre, 2013

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Entre la cantidad de resultados obtenidos en teoría de números, cada vez encontramos uno que otro resultado que te deja algo perplejo, ya sea por su demostración, ya sea por su trascendencia, o por lo que dice propiamente el teorema.

En esta entrada está uno de esos resultados, quizás no tanto por su trascendencia o por su demostración… en este caso es mas por lo que dice.


El teorema de Midy: El curioso teorema en estado de latencia


El teorema de Midy nos habla acerca de una propiedad que cumple la expansión en decimales de ciertas fracciones. Propiamente, este teorema dice

Teorema: Sea a/p una fracción, donde a<p y p>5 es un número primo. Suponga además, que esta fracción, tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de dígitos en el periodo es par, esto es

\displaystyle\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2\cdots a_{2k-1}a_{2k}}

Si dividimos el periodo en dos mitades (los primeros k y los últimos k, a esta acción la llamaremos dividir en bloques) y los sumamos, obtenemos un número que consiste en solo nueves.

Bueno, hagamos un ejemplo para ver con precisión qué nos dice este teorema.

Veamos la fracción 1/7. La expansión decimal de esta fracción es

\displaystyle\frac{1}{7}=0.\overline{142857}

El periodo se compone de una cantidad par de dígitos, 6, llamaremos a esto la longitud del periodo, entonces tomemos el número y dividamos en dos bloques, los 3 primeros y los 3 últimos: 142 y 857, al sumarlos, dan

999

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Demostrando que raíz de 2 es irracional: Ternas pitagóricas

Posted in ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes, Irracional by ZetaSelberg on 2 octubre, 2013

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¡Ajá! Una demostración mas…


Suponga que raíz de dos es racional. Escriba

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q},

donde p y q son primos relativos. Entonces, pasando q a multiplicar y elevando al cuadrado, obtenemos

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q}

q\sqrt{2}= p

2q^2= p^2

\boxed{q^2+q^2= p^2}.

De modo que la terna (q,q,p) es una terna pitagórica.

Como es una terna pitagórica existen m y n números naturales, con m>n, tal que

q=m^2-n^2

q=2mn

p=m^2+n^2

Por la segunda igualdad obtenemos que q es par, entonces, observando la primera vemos que m y n deben tener la misma paridad.

Caso 1. m y n son impares. En este caso m=2m_1+1n=2n_1+1, de modo que desarrollando la última igualdad, quedaría como

p=4m_1^2+4m_1+4n_1^2+4n_1+2

De modo que p es par al igual que q. Esto es una contradicción ya que son primos relativos.

Caso 2. m y n son pares. En tal caso m^2 y n^2 son ambos pares, luego m^2+n^2 es par, concluyendo que p es par al igual que q. Pero p y q son primos relativos. Contradicción.


Una demostración que no propone nada del otro mundo… pero es una demostración :D.



Referencias

  • Terna Pitagórica , Wikipedia. Consultada el 29 de septiembre de 2013 a la 1:34amTerna pitagórica.


Véase también

Construyendo los números naturales (I): Axiomas de Peano.

Posted in Hechos Fascinantes, Reflexión by ZetaSelberg on 28 septiembre, 2013

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En teoría de números, estudiamos las propiedades de los números naturales, su factorización, soluciones de ecuaciones y otro mundo de cosas que nos ha dado de qué hablar. En esta serie de entradas, haremos algo que debimos haber hecho hace un tiempo: Construir los números naturales.


Axiomas de Peano. Empezaremos con la definición mas conocida. Esta definición se caracteriza por ser axiomática, es decir, no decimos qué son los números o como son los objetos que están en el conjunto de números naturales; a cambio, decimos qué cumplen esos objetos.

Entonces, por ejemplo, nunca decimos qué es “2”, qué es “36” o qué es “1”, solo decimos que “2”, “36” y “1” cumplen tales condiciones que se proponen sus axiomas. Bien podemos cambiar ese “2” por otro objeto, por ejemplo, “\star “, podemos cambiar ese “36” por otro objeto, llámelo “\square” y además, cambiar el objeto “1” por “\triangle” y así con todos los números… siempre y cuando cumplan los axiomas, también serán el conjunto de los naturales.

Y bueno… ¿Cómo es el asunto acá? Denotemos por \mathbb{N} a un conjunto, conjunto que llamaremos: Números naturales. En principio, desconocemos qué hay en ese conjunto, pues no hemos dicho nada de él. Entonces empezaremos con este axioma.

Axioma 1: 0 pertenece al conjunto de números naturales.

Ya tenemos un elemento en nuestro conjunto \mathbb{N}. Este primer elemento se convertirá en nuestro generador de números naturales junto con una operación llamada “sucesor” o “incremento”. Tal operación la vamos a denotar por un signo + como exponente. Es decir, el sucesor de cero se escribe como 0^+.

Axioma 2: Si n pertenece a \mathbb{N} entonces n^+ pertenece a \mathbb{N}.

Este axioma me permite decir crear nuevos naturales a partir del antiguo, dado que solo basta con hacer la operación sucesor a un elemento que ya tengo y… ¡bingo! tengo otro natural… ¿cierto?.

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π² Irracional implica infinitos primos

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¿Qué hay infinitos primos?… ese es cuento viejo, ¿que cuantas maneras hay para demostrarlo?… Muchas, ¿Me puede mostrar una? ¡Oh Sí!

Hoy les indicaré una demostración que si bien no es algo novedoso, es bien curiosa: \pi^2 irracional implica infinitos primos.


Todo tiene origen en una igualdad bastante conocida,

\zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}.

Donde \zeta es la función Zeta de Riemann. La otra parte de la demostración está en el siguiente hecho

\zeta(s)=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right)=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{p^s}{p^{s}-1}\right).

El producto va sobre todos los números primos. De este modo,

\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=\displaystyle\prod_{p}\left(\frac{p^2}{p^{2}-1}\right).

Sabemos que \pi^2 es irracional. Supongamos que hay finitos primos, entonces el producto de la derecha será finito, de este modo el miembro derecho es el producto finito de racionales… lo cual da un número racional, pero esto es una contradicción con el hecho de que \pi^2 es irracional. De modo que no pueden haber finitos primos.


Esta demostración es bastante interesante, pero si miramos el trasfondo de la misma, vemos que se usa bastante teoría: Representar \zeta como un producto nos lleva un rato, la demostración de \pi^2 irracional, nos quita un buen rato. Demostrar que \zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}… nos quita otro buen rato. De hecho es el famoso problema de Basilea (Véase: El problema de BasileaEl problema de Basilea II) 😀

El número aureo

Posted in ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes by ZetaSelberg on 29 septiembre, 2011

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El número áureo cumple identidades bien curiosas, vean esto (F_n es el n-ésimo valor de la suceción de Fibonacci)

\displaystyle\varphi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}

\varphi=1+\frac{1}{\varphi}

\varphi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}

\varphi=\sqrt{1+\varphi}

\displaystyle\varphi=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}

\displaystyle\varphi^a=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+a}}{F_n}

\displaystyle\varphi=\sum_{n=0}^{\infty}|F(n)\varphi-F(n+1)|

\displaystyle\varphi^n-\varphi^{n-1}=\varphi^{n-2}

\varphi=-\sin666-\cos(6\cdot 6 \cdot 6)

F_n=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n-\frac{(-1)^n}{\varphi^n}\right)

Y para terminar, una serie de Taylor

\varphi=\displaystyle\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(2n+1)!}{n!(n+2)! 4^{2n+3}}

La relación con las raíces (la tercera de la lista) nos recuerda a un grande de las matemáticas: Ramanujan


Referencias

Tantas pruebas para un teorema

Posted in ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes by ZetaSelberg on 9 septiembre, 2011

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En cualquier rama de las matemáticas, uno encuentra distintas maneras de demostrar el mismo hecho; en teoría de números pasa lo mismo. Hay un teorema que contiene una larga lista de demostraciones: La ley de reciprocidad cuadrática.

La ley de reciprocidad cuadrática tiene más de 233 demostraciones.

Fascinante! Pero hay que mirar al fondo y ver lo que verdaderamente significa: el desarrollo de una teoría. ¿Cómo es posible que haya tantas demostraciones? Una razón puede ser el estudio de la teoría de números algebraica. A decir verdad, no hay una sola ley de reciprocidad cuadrática (aunque suele llamarse así a la ley de reciprocidad mostrada por Legendre y completada Gauss), existen varias leyes, de hecho hay un libro que habla acerca de ellas: Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein de Franz Lemmermeyer.

Un ejemplo de una ley de reciprocidad poco común es la ley de reciprocidad ‘óctica’ de Eisenstein:

Definición: Sea \zeta tal que 2\zeta=\sqrt{2}+\sqrt{2}i. Para un elemento \alpha en \mathbb{Z}[\zeta], defina el símbolo ‘óctico’ módulo \alpha, denotado [\beta/\alpha], como 1 sí x^8\equiv \beta\bmod\alpha tiene solución y -1 en caso contrario.

Teorema: Sea a\in\mathbb{Z}\alpha\in\mathbb{Z}[\zeta] tal que \alpha es congruente a 1 módulo 2(1+\zeta). Entonces

  \displaystyle\left[\frac{\alpha}{a}\right]=\left[\frac{a}{\alpha}\right], \left[\frac{\zeta}{a}\right]=\zeta^{(a^2-1)/4}, \left[\frac{1+\zeta}{a}\right]=\zeta^{(a^2-1)/8}


En el siguiente enlace se puede ver el recuento de las primeras 233 demostraciones con su fecha (nombre del artículo o libro), autor y el método utilizado: Proofs of the Quadratic Reciprocity Law. Cabe resaltar que 45 demostraciones están basadas en el lema de Gauss.

Termino con dos cosas, la primera es otro enlace con la demostración de Eisenstein: Eisenstein’s Misunderstood Geometric Proof of the Quadratic Reciprocity Theorem.

La segunda es con una frase de  Lemmermeyer

La historia de las leyes de reciprocidad es la historia de la teoría de números algebraica.


Referencias

  • Reciprocity laws: from Euler to Eisenstein, Franz Lemmermeyer. Library of Congress Cataloging-in-Publication Data, 1962.

Notas

  • Lo de ‘óctico’ suena feo, pero no encontré traducción y pues decidí irme por ese nombre :).

¡Es real!

Posted in Hechos Fascinantes by ZetaSelberg on 1 septiembre, 2011

Estudiante 1 (E1): Mira esta mentirota

i^i=e^{-\pi/2}=0.207879576350761908546955...

Estudiante 2 (E2): ¿Mentirota? 😀

E1: Claramente eso no puede ser real

E2: ¿Claramente? 😀

E1: … lo es?

E2: 😉


Sí, es real y la demostración es sencilla :).

El conde MacMahon y la función partición

Posted in ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 26 agosto, 2011

La manera en como los matemáticos intentamos resolver problemas o intentamos dar un acercamiento a un problema dando una buena conjetura es, por lo general, sentarnos y pensar a ver si se nos ocurre una idea feliz. Muchos matemáticos, usan probabilidad para hacer sus conjeturas y luego probarlas (algunos sólo hacen la conjetura y no logran probarla). Otros se dejan llevar por la intuición… pero el que viene a continuación, este fue especial.

Vamos a dar un contexto del tema para que se entienda mejor. Sea n un número natural cualquiera. Decimos que una partición de n es una expresión de la forma a_1 +a_2 + ...+a_m donde a_i son enteros positivos para cada i.

Por ejemplo: 2+1 es una partición de 3, 1+1+1 también lo es. Note que 2+1 y 1+2 son ambas particiones de 3, aunque usen los mismos números, pero en diferente orden.

Queremos saber, dado un número natural, cuantas particiones tiene. Si no tenemos en cuenta el orden, es decir, si decimos que 1+2 es una partición distinta a 2+1, entonces un número n tiene 2^{n-1} particiones (Te atreves a probarlo). Pero si decimos que representan la misma partición el problema es un poco más complicado.

Defina p(n) como la función que cuenta la cantidad de particiones de un n, sin contar el orden… y leamos esta curiosa anécdota del Conde MacMahon.

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Hechos fascinantes

Posted in Hechos Fascinantes by ZetaSelberg on 18 agosto, 2011

Hoy vamos a inaugurar una nueva categoría en el blog, llamada Hechos fascinantes. La idea es que en esta categoría van, teoremas, identidades, fórmulas, anécdotas, etc. Que por su naturaleza misma sobresalen sobre los demás de su clase, ya sea por lo extraños, por su historia, por su trascendencia en las matemáticas o algo parecido.


Para inaugurar, traigo una de las tantas fórmulas de Srinivasa Aiyangar Ramanujan

Denotando n!! como el doble factorial

\displaystyle\frac{1}{\pi}=\sqrt{8}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1103+26390n)(2n-1)!!(4n-1)!!}{99^{4n+2}32^n (n!)^3}

–S. A. Ramanujan

Si bien Ramanujan encontró fórmulas bastante curiosas para \pi, más interesante aún es que tales fórmulas convergen rápidamente. Esta última fórmula aporta 8 decimales por cada sumando. Según Ramanujan, el recibia estas maravillosas fórmulas de Dios.


Referencias

  • Clifford A. Pickover, A Passion for Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 2005.
  • Srinivasa Aiyangar Ramanujan, Wikipedia – La enciclopedia libre. Recuperado el 16 de agosto de 2011.