Lo fascinante de la teoría de números

El número que era primo… pero ya no

Posted in Aritmética, Números primos, Reflexión by ZetaSelberg on 28 octubre, 2013

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Hace un poco más de medio siglo, existía un número que hacía parte de nuestra querida familia de números primos. Conforme pasó el tiempo, sucedieron cosas, las matemáticas fueron evolucionando, se siguieron desarrollando teorías (Como de hecho aún sucede) que fueron excluyendo a un elemento de esa familia. Las matemáticas en general se siguen desarrollando, inconsciente o no, de que en algún momento existió un elemento que estaba entre los selectos, esos números que día a día miles de matemáticos se van de cabeza contra hojas y pizarras, armados de lápiz, marcadores o tizas, con tal de encontrarle propiedades. Esos que vivimos re-descubriendo día a día… porque son los números elegidos, son los distintos, los consentidos, los mimados.

Esta es una breve reseña del uno, y del por qué ya no se considera un número primo.


Euclides


El libro “Los elementos” de Euclides son nuestro primer referente acerca de números primos. En el libro VII encontramos la definición de número primo.

Euclides empieza definiendo lo que es una unidad:

Definición 1[Libro VII – Elementos]. Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una.

A lo que se refiere Euclides es que una unidad (o la unidad en algunos casos) es aquel elemento con el cual construimos otros. Por ejemplo, si nuestra unidad es el siguiente cuadro

unidad

Lo elementos que podemos formar, son todos los que podamos formar a partir de estos

unidad-2

Lo que se debe cumplir es que todo se componga de esta (o estas) unidades. Como lo estipula en la segunda definición

Definición 2[Libro VII – Elementos]. Un número es una pluralidad compuesta de unidades.

El siguiente concepto es el que asociamos a divisivilidad.

Definición 3[Libro VII – Elementos]. Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor.

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El teorema de Midy

Posted in Aritmética, ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes, MegaPost by ZetaSelberg on 6 octubre, 2013

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Entre la cantidad de resultados obtenidos en teoría de números, cada vez encontramos uno que otro resultado que te deja algo perplejo, ya sea por su demostración, ya sea por su trascendencia, o por lo que dice propiamente el teorema.

En esta entrada está uno de esos resultados, quizás no tanto por su trascendencia o por su demostración… en este caso es mas por lo que dice.


El teorema de Midy: El curioso teorema en estado de latencia


El teorema de Midy nos habla acerca de una propiedad que cumple la expansión en decimales de ciertas fracciones. Propiamente, este teorema dice

Teorema: Sea a/p una fracción, donde a<p y p>5 es un número primo. Suponga además, que esta fracción, tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de dígitos en el periodo es par, esto es

\displaystyle\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2\cdots a_{2k-1}a_{2k}}

Si dividimos el periodo en dos mitades (los primeros k y los últimos k, a esta acción la llamaremos dividir en bloques) y los sumamos, obtenemos un número que consiste en solo nueves.

Bueno, hagamos un ejemplo para ver con precisión qué nos dice este teorema.

Veamos la fracción 1/7. La expansión decimal de esta fracción es

\displaystyle\frac{1}{7}=0.\overline{142857}

El periodo se compone de una cantidad par de dígitos, 6, llamaremos a esto la longitud del periodo, entonces tomemos el número y dividamos en dos bloques, los 3 primeros y los 3 últimos: 142 y 857, al sumarlos, dan

999

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