Lo fascinante de la teoría de números

Demostrando que la suma de los recíprocos de los primos diverge

Posted in Demostraciones, Números primos by ZetaSelberg on 25 noviembre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Demostrando que la suma de los recíprocos de los primos diverge



 

Como sabemos, así como la suma de los inversos de los enteros positivos diverge, la suma de los inversos de los números primos también. En esta corta entrada revisaremos una corta demostración de este hecho dada por Dustin G. Mixon en la revista American Mathematical Montly.


Sea p_i el i-ésimo número primo, supongamos que la suma de los inversos de los números primos converge. Existe un valor k tal que

\displaystyle\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}<1.

Sea A el conjunto de todos los números cuyos factores primos son menores o iguales a p_k, sea B el conjunto de todos los números cuyos factores primos son mayores a p_k. Por el teorema fundamental de la aritmética, todo número puede ser representado como el producto ab donde a\in A y b\in B. Notemos ahora que

\displaystyle\sum_{a\in A}\frac{1}{a}=\sum_{n_1\geq 0}\cdots \sum_{n_k\geq 0}\frac{1}{p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}}=\left(\sum_{n_1\geq 0}\frac{1}{p_1^{n_1}}\right)\cdots\left(\sum_{n_k\geq 0}\frac{1}{p_k^{n_k}}\right).

Cada una de las sumas que aparecen en los productos es una suma geométrica, de modo que estas convergen, al ser el radio menor a uno. Es decir, podemos concluir que

\displaystyle\sum_{a\in A}\frac{1}{a}<\infty.

Ahora, sea B_m los elementos del conjunto B con exactamente m factores primos, no necesariamente distintos, entonces, teniendo en cuenta que el primo mas pequeño que aparece en esta factorización es p_{k+1}

\displaystyle\sum_{b\in B}\frac{1}{b}=\sum_{m=0}^\infty\sum_{b\in B_m}\frac{1}{b}\leq \sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}\right)^m.

Según la hipótesis del inicio, la suma

\displaystyle\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}=r<1,

de modo que al hacer la suma,

\displaystyle\sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}\right)^m=\sum_{m=0}^\infty r^m<\infty,

nos queda una serie geométrica que converge, es decir

\displaystyle\sum_{b\in B}\frac{1}{b}<\infty.

Ahora, note que

\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}=\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}\frac{1}{ab}=\left(\sum_{a\in A}\frac{1}{a}\right)\left(\sum_{b\in B}\frac{1}{b}\right)<\infty.

Lo cual es una contradicción, dado que la serie armónica diverge.


Referencias

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9 comentarios

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  1. Javier Cortés (@OddPrimeNumber) said, on 26 noviembre, 2013 at 7:42 pm

    Fascinante!!!
    Conoces la demostración de Brun sobre la convergencia de la suma de los inversos de los primos gemelos, infortunadamente no he podido encontrarla.

    Saludos.

    • ZetaSelberg said, on 26 noviembre, 2013 at 7:50 pm

      Hola Javier, me alegra que te haya gustado la entrada.

      Sí conozco la demostración de la que me hablas, de hecho, en una entrada anterior la había puesto.

      Cordial saludo :).

      • Javier Cortés (@OddPrimeNumber) said, on 26 noviembre, 2013 at 9:44 pm

        Oh gracias que Genial dicha entrada!
        ¿Conoces otras demostraciones del mismo resultado?
        Saludos.

        • ZetaSelberg said, on 26 noviembre, 2013 at 10:31 pm

          Para ser sincero, desconozco otra demostración de ese hecho, pero sería muy interesante ver una. ¿Conoces alguna otra demostración?

          • Javier Cortés (@OddPrimeNumber) said, on 27 noviembre, 2013 at 7:16 am

            No, de hecho desconozco si existen otras demostraciones, aún mas un teorema que lleva casi 100 años demostrado (1919) aparentemente cuenta con una única demostración contrastando el hecho que expones en este post de la cantidad y diversidad de demostraciones de que la suma de los inversos de los primos diverge.

            Ahora, pregunto si la suma de los inversos de los primos gemelos converge, entonces (http://en.wikipedia.org/wiki/Twin_prime#Isolated_prime) ¿la suma de los inversos de los primos aislados (Isolated prime) diverge?

            Saludos.

            • ZetaSelberg said, on 28 noviembre, 2013 at 12:02 am

              Excelente pregunta, no tengo una respuesta ahora, buscaré información al respecto.

  2. J. H. S. said, on 7 enero, 2014 at 5:30 pm

    Para responder a la pregunta de Javier Cortés, basta aplicar el teorema de Brun… Si la serie de los recíprocos de los números primos “aislados” convergiera entonces la serie de los recíprocos de los números primos también serie convergente, contradicción.

    • ZetaSelberg said, on 7 enero, 2014 at 5:52 pm

      Efectivamente. Para dar un poco más de detalle: definamos dos familias: A y B. La familia A se compone de todos los primos gemelos, la familia B se compone de todos los primos aislados. Ambas familias son disyuntas, de este modo

       \displaystyle\sum_{p}\frac{1}{p}=\sum_{p\in A}\frac{1}{p}+\sum_{p\in B}\frac{1}{p}

      Siendo que la primera suma es convergente por el teorema de Brun, la segunda suma debe ser divergente. Cordial saludo J.H.S.


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