Lo fascinante de la teoría de números

Funciones que generan números primos

Posted in Demostraciones, MegaPost, Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 4 noviembre, 2013

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Ya hemos tratado varias veces el tema de los números primos, sabemos que hay una cantidad infinita, que el uno no es considerado un número primo, y que ciertos primos cumplen ciertas propiedades. Nuestra pregunta ahora es acerca de como encontrar primos.

Como sucede con otros objetos en matemáticas, una vez construimos el objeto, queremos algo que nos genere eso. Es una pregunta que está muy asociada a encontrar o determinar qué objetos cumplen nuestra propiedad característica. Podríamos entonces decir que un método de cribado, como la criba de Eratóstenes, nos permite “generar” primos. Sin embargo la sensación no es como tal, pues este método de cribado es un algoritmo que requiere de unos pasos por medio del cual, a partir de una lista de números, decimos cuales son primos y cuales compuestos. Esto no corresponde al concepto de generar, generar se asocia a la sensación de una máquina que produce lo que yo quiero. Esta acción es producida por las funciones. Como bien saben una función f es una “maquina” que a partir de un elemento x produce un elemento f(x). Y es de eso de lo que les vengo a hablar de funciones que generan números primos.


Euler, Legendre y demás


Empezamos con un grande de la teoría de números y las matemáticas en general. Leonard Euler encontró un polinomio que generaba primos… hasta un cierto punto. El famoso polinomio de Euler

\boxed{P(n)=n^2+n+41},

el cual toma el valor de un número primo para todo n entre cero y treinta y nueve. Siendo 41 el primo mas pequeño que nos genera y 1601 el más grande. Posteriormente se encontraron otros, por ejemplo Adrien-Marie Legendre encontró que el polinomio

P(n)=n^2+n+17

También genera números primos, sin embargo, solo cuando n va desde cero hasta quince, quedando corto ante el polinomio de Euler. Legendre encontró otro polinomio

P(n)=2n^2+39

Este último toma valores primos para cualquier n entre cero y veinte y nueve.

Todas estas expresiones caen en una rama que podríamos llamar: Polinomios que generan números primos. En el cual, claramente, las funciones se restringen a ser polinomios. En esta categoría hay otros ejemplos. En 2006, J. Brox encontró el polinomio

\boxed{P(n)=6n^2-342n+4903}

para n entre cero y cincuenta y siete.

Ese mismo año, Wroblewski y Meyrignac encontraron dos polinomios mas (algunos de ellos aparecen negativos, es decir, en vez de aparecer el primo 3517 aparece -3517)

\boxed{P(n)=n^5-99n^4+3588n^3-56822n^2+348272n-286397}

para n entre cero y cuarenta y seis.

\boxed{P(n)=\displaystyle\frac{1}{36}\left(n^6-126n^5+6217n^4-153066n^31987786n^2-13055316n+34747236\right)}

para n entre cero y cincuenta y cuatro.

Y muchos ejemplos más. La pregunta natural sería

¿Existe un polinomio que de como resultado todos los números primos, es decir, un polinomio P(n) tal que de un número primo diferente para cada valor de n?

Sería lo ideal. Sin embargo no existe tal polinomio, veamos

Teorema. Si un polinomio siempre toma valores primos, es decir, un polinomio P(n) tal que sea primo para todo valor de n, entonces dicho polinomio es una función constante.


Demostración. Sea P(n) un polinomio como el del teorema, entonces,

P(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_ix^{i}

Además, P(1)=p un número primo. Entonces, calculemos P(1+kp)

P(1+kp)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i(1+kp)^{i}.

Sabemos, por el binomio de Newton, que

(1+kp)^{i}=\displaystyle\sum_{j=0}^{i}{i\choose j}(kp)^j.

De acá podemos deducir que todos los términos de la suma son divisibles entre p, salvo el primero, que es uno. Entonces

P(1+kp)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\sum_{j=0}^{i}{i\choose j}(kp)^j\equiv\sum_{i=1}^{n}a_i \pmod p.

Observe que

P(1)=p=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i

Entonces

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\equiv 0\pmod p.

Concluímos entonces que

P(1+kp)\equiv 0\pmod p.

En palabras mas simples, para todo k, P(1+kp) es divisible entre p. Pero, el polinomio P(n) solo toma valores primos, eso quiere decir que P(1+kp)=p para todo k. ¿Puede un polinomio hacer eso? La única forma es que P(n)=p una función constante.


Una propiedad que cumplen esta clase de polinomios es esta

Lema. Sea P(n) un polinomio que toma valores primos desde cero hasta un valor k. Entonces, el polinomio P(k-n) también toma valores primos para n entre cero y k.

La demostración es muy sencilla, pues lo que está sucediendo entre el polinomio P(n) y P(k-n) es que se cambia el orden en el cual se evalúa la función. Es decir, en el caso del polinomio dado por Euler, en vez de ir evaluando desde cero hasta treinta y nueve, la nueva función evalúa desde treinta y nueve hasta cero.

Otra pregunta que podríamos hacernos es hallar un polinomio que se anule solo en los números primos, pero esta búsqueda es muy corta. Pues

Hecho. Si P(n) es un polinomio tal que P(n)=0 para todo n número primo, entonces P(n) es el polinomio cero. Es decir P(x)=0 para todo x\in\mathbb{R}.

El argumento es de lo mas sencillo, si P(n)=0 para todo n número primo, entonces dicho polinomio tiene infinitas raíces reales…

Bien, no existe un polinomio que genere todos los números primos, pero, ¿Será que dado una cantidad finita de primos, existe un polinomio que me genere esos números primos? La respuesta es afirmativa, pero no viene de teoría de números, viene de otra rama llamada análisis numérico. La respuesta a la pregunta sería interpolar los números primos en la lista, por ejemplo, el siguiente polinomio genera los primeros quince primos para x entero desde cero hasta catorce

\displaystyle\frac{89 x^{14}}{17435658240}-\frac{8563 x^{13}}{12454041600}+\frac{37339 x^{12}}{958003200}-\frac{1205387 x^{11}}{958003200}+\frac{2270543 x^{10}}{87091200}-\frac{1525363 x^9}{4147200}+\frac{2218844749 x^8}{609638400}-\frac{317947213 x^7}{12441600}+\frac{691171879 x^6}{5443200}-\frac{4779497917 x^5}{10886400}+\frac{61079336699 x^4}{59875200}-\frac{1420669439 x^3}{950400}+\frac{46265963587 x^2}{37837800}-\frac{9915421x}{24024}+2

Esto lo hice, precisamente interpolando los puntos (0,2), (1,3), (2,5),... (Acá puedes verlo en Wolfram Alpha). Sin embargo, las limitaciones informáticas aparecen al usar muchos puntos, y es que una interpolación polinomial tiene un costo computacional alto y más en este caso en el cual se usa interpolación de Lagrange.

Euler también se hizo una pregunta acerca de polinomios, considerando los polinomios 2x^2+p con p un número primo distinto de dos, logrando algunos resultados más (acá puedes verlos, al final).

Todo esto de los polinomios está muy ligado a varias conjeturas acerca de representaciones de números primos en forma polinomial. Landau, en su recopilación de problemas, colocó quizás una de las más conocidas

Conjetura. Existen infinitos números primos que se escriben de la forma n^2+1.

Sobre esta conjetura se ha avanzado. En 1997 Friedlander e Iwaniec mostraron que existen infinitos valores de n para los cuales n^2+1 tiene dos factores primos. Mostraron además el siguiente teorema

Teorema. Existen infinitos primos de la forma a^2+b^4.

Todo esto usando métodos de cribado. Con esto acabamos esta parte de la historia, en la cual hemos tratado de generar primos con las funciones más sencillas que conocemos, pero sin embargo no hemos logrado un resultado con un grado significativo.


Funciones Exponenciales


Pasamos entonces a otro tipo de funciones, en este caso las funciones exponenciales. Empezaremos nuestra exposición con ciertas clases de números primos, esos primos que por alguna razón, tienen nombre ;).


Primos de Mersenne

Los números primos de Mersenne, son todos los números primos de la forma

2^n-1.

Esta es la clase de números que quizás mas se trabaja, de hecho, el número primo más grande que se conoce es un primo de Mersenne

2^{57885161}-1

De verdad que es un número enorme. Aún así, se desconoce si existen infinitos primos de esta forma.

Primos de Fermat

Esta clase de números son bastante similares a los de Mersenne. Los números primos de Fermat son aquellos que se pueden escribir de la forma

2^{2^n}+1.

Fermat, en su momento, pensó que todos los números de esta forma eran números primos, sin embargo, Euler demostró que para n=5, dicha expresión es un número compuesto. De hecho, existen dos conjeturas que se contradicen acerca de esta forma exponencial.

  1. ¿Existen infinitos primos de Fermat?
  2. ¿Es 2^{2^n}+1 compuesto para todo n\geq 5?

Curiosamente, la segunda parece tener mas cara de sí que la primera.

Número primo de Prierpont

Los números primos de Prierpont fueron llamados así en honor a James Prierpont, aunque la definición como tal fue dada por Guy. Los números primos Prierpont son todos los que tienen la forma

2^{a}3^{b}+1

Se han encontrado varios números primos de Prierpont como factores de algunos primos de Fermat.

Número primo de Proth

Aquellos número primos que tienen la forma k2^n+1 se llaman primos de Proth. Estos números primos son un caso especial de los números primos de Prierpont. Al igual que los números primos de Cullen

Número primo de Cullen

Son todos aquellos primos que se escriben de la forma n2^n+1.

Número primo de Wagstaff

Son todos aquellos que se escriben de la forma

\displaystyle\frac{2^n+1}{3}.


Bueno… en fin, hay muchos números primos que caen es esta categoría, todos proponiendo una forma en la cual se representa el primo. No todos nacen con el fin inicial de encontrar una función exponencial que genere todos números primos, pero sí con una finalidad de poder encontrar una expresión que al menos tome una cantidad considerable de valores primos. Otros no están para nada relacionados con el tema de los números primos, solo que se asociaron al querer encontrar valores primos para tales expresiones. Por colocar un ejemplo, los números primos de Motzkin

Dado un número n natural, definimos el número de Motzkin, M_n, como la cantidad de cuerdas que se pueden dibujar sobre un circulo con n puntos sobre ella, de modo tal que ningún par de cuerdas se intersecte. Por ejemplo, para n=4

mot

Entonces M_4=9. Los números primos de Motzkin son aquellos números de Motkin que también son primos. En principio no se sabe si son polinómicos o exponenciales, de hecho no es exponencial, debido a que tales números están relacionados con los números de Catalán, cumpliendo una propiedad que relaciona ambos números.

Todo esto suena bien en el contexto de estudiar las diferentes formas que tienen los números primos, sin embargo, aún no responde a nuestra pregunta inicial, y es si existe una función que sólo genere números primos. Todo este recorrido semi-histórico y a modo de recordatorio es para llegar al climax del asunto. El teorema que llega a calmar las masas inquietas y preguntonas que quieren saberlo todo.


El teorema de Mills


Sin lugar a dudas el teorema estrella. El teorema de Mills resuelve de manera favorable nuestra pregunta, asegurando que existe un número, tal que al componerla con la función exponencial y la función parte entera, sólo da como resultado números primos

Teorema (Mills – 1947). Existe un número real A, tal que

\lfloor A^{3^n}\rfloor

es un número primo para cualquier valor de n entero positivo. Los símbolos \lfloor \cdot\rfloor significan parte entera.

Bien, existe la constante, sin embargo, desde ese entonces, no se conoce con precisión el valor como tal. Este ha sido una carrera que se ha estado llevando a cabo desde que Mills publicó dicho artículo, siendo el mejor resultado el que está a continuación.

Teorema (Chris K. Caldwell y Yuanyou Cheng – 2005). Asumiendo la Hipóteis de Riemann, el valor más pequeño para la constante de Mills empieza por los siguientes seiscientos dígitos

1.3063778838 630869046 8614492602 6057129167 8458515671

3644368053 7599664340 5376682659 8821501403 7011973957

0729696093 8103086882 2388614478 1635348688 7133922146

1943534578 7110033188 1405093575 3558319326 4801721383

2361522359 0622186016 1085667905 7215197976 0951619929

5279707992 5631721527 8412371307 6584911245 6317518426

3310565215 3513186684 1550790793 7238592335 2208421842

0405320517 6890260257 9344300869 5290636205 6989687262

1227499787 6664385157 6619143877 2844982077 5905648255

6091500412 3788524793 6260880466 8815406437 4425340131

0736114409 4137650364 3793012676 7211713103 0265228386

6154666880 4874760951 4410790754 0698417260 3473107746

Con este valor se han calculado algunos números primos que surgen de la fórmula dada por Mills, como lo son 2, 11 y 1361 (OEIS – A051254).

Posterior al resultado de Mills, llegaron ciertas generalizaciones que permitieron modificar ciertos valores para la función exponencial que propuso Mills. Una de las primeras generalizaciones fue dada por Kuipers, unos tres años más tarde

Teorema (Kuipers – 1950). Para cada entero c\geq 3 existe un número real A que depende solamente de c, de modo que

\lfloor A^{c^n}\rfloor

es un número primo para todo n número natural.

Kuipers, en el teorema anterior, nos permite un grado de libertad, y es el poder escoger cualquier valor para el exponente de la constante A. Aún así, este teorema se puede generalizar aún mas. Un año más tarde, Ivan Niven demostró el siguiente teorema.

Teorema (Niven – 1951). Dado cualquier número real c\geq 8/3 existe un número real A tal que

\lfloor A^{c^n}\rfloor,

es un número primo para cualquier entero positivo x. Además, dado cualquier número real A>1 existe un valor c tal que se cumple la misma condición.

De lo que nos habla el teorema de Niven, es acerca de dos cosas. La primera es que nos amplía el margen del cual podemos escoger el el valor de c. La segunda, más interesante que la primera, es una especie de converso del teorema de Kuipers, en el cual podemos escoger cual queremos que sea la base. A continuación daremos la demostración del teorema de Niven (tal y como está dada en su artículo.)


Demostración del teorema de Niven. La demostración se divide en dos partes, en la primera se demuestra que dado c existe A, y en la segunda que dado A existe c. En esta exposición solo daremos la primera parte. Los resultados previos que se utilizan es el siguiente teorema dado por Ingham

Teorema 1. Existe una contante K tal que para todo x\geq 1 existe un número primo p que satisface

x<p<x+Kx^{5/8}.

De hecho, todas las demostraciones anteriores (Mills y Kuipers) también hacen uso de este teorema. Otro resultado previo que utiliza Niven en su demostración es la siguiente desigualdad

Lema 1. Para todo x>1 y y\geq 2 se cumple que

(1+x)^y-1>x^y+x^{y-1}

Primera parte. Sea c=\frac{8(1+d)}{3} donde d\geq 0 es un parámetro libre a escoger. Este valor de c será nuestro exponente. Sea K la constante del teorema 1, escoja p_1 tal que p_1>K^{1/d}. Por el teorema 1, existe un número primo, que escribimos como p_2, tal que

p_1^{c}<p_2<p_1^c+Kp_1^{5c/8}.

Para la desigualdad anterior, hemos usado el teorema con x=p_1^c. Usando el teorema 1, con el número primo p_2^c, vemos que existe un número primo p_3 tal que

p_2^c<p_3<p_2^c+Kp_2^{5c/8}.

De este modo, usando de manera reiterada el teorema 1, podemos encontrar una sucesión de números primos p_n tal que

p_{n}^c<p_{n+1}<p_{n}^c+Kp_{n}^{5c/8}\, \, \, \, \, \, (1)

para todo n\geq 1. Ahora, dado que p_1>K^{1/d}, podemos deducir que p_1^d>K, por lo cual

Kp_{n}^{5c/8}<p_1^dp_{n}^{5c/8}.

En este punto notemos que, de la sucesión de primos que hemos construído

p_n^{c}<p_{n+1},

y dado que c>1 por definición, luego

p_n<p_{n+1}.

En particular p_1<p_{n} para todo n. Conociendo esto, obtenemos que la desigualdad se puede reescribir como

Kp_{n}^{5c/8}<p_n^dp_{n}^{5c/8}=p_{n}^{d+5c/8}.

Recordemos que el valor de d cumple la igualdad c=\frac{8(1+d)}{3}, despejando d deducimos que d=3c/8-1. Al reemplazar este valor, en el exponente de p_n llegamos a la expresión

d+5c/8=3c/8-1+5c/8=c-1.

Obteniendo finalmente

Kp_{n}^{5c/8}<p_{n}^{c-1}.

Reemplazanzo esta desigualdad en la expresión (1),

p_{n}^c<p_{n+1}<p_{n}^c+p_{n}^{c-1}\, \, \, \, \, \, (2).

Por el lema 1, dado que p_n>1 para todo n y el valor c>2 para cualquier valor de d, podemos deducier  que

p_{n}^c+p_{n}^{c-1}<(1+p_n)^c-1

Usando este resultado, la desigualdad (2) se reescribe de la forma

p_{n}^c<p_{n+1}<(1+p_n)^c-1.

De esta desigualdad podemos extraer las siguientes desigualdades

\boxed{p_{n+1}+1<(1+p_n)^c}

\boxed{p_{n}^c<p_{n+1}}

Observe que de la segunda desigualdad se puede deducir

p_{n}^{c^{-n}/c^{-n-1}}<p_{n+1}.

La cual implica

p_n^{c^{-n}}<p_{n+1}^{c^{-n-1}}<(p_{n+1}+1)^{c^{-n-1}}.

Usando la primera desigualdad en la parte derecha de la expresión anterior se puede inferir lo siguiente,

(p_{n+1}+1)^{c^{-n-1}}<((1+p_n)^c)^{c^{-n-1}}=(1+p_n)^{c^{-n}}.

En conclusión

\boxed{p_n^{c^{-n}}<p_{n+1}^{c^{-n-1}}<(1+p_n)^{c^{-n}}}.

En este punto tenemos dos observaciones,

1. La sucesión p_n^{c^{-n}} para n natural, es creciente. Pues si a_n=p_n^{c^{-n}}, entonces la primera parte de la desigualdad nos asegura que

a_n=p_n^{c^{-n}}<a_{n+1}=p_{n+1}^{c^{-n-1}}.

2. La sucesión es acotada. De la segunda parte de la desigualdad se extrae

p_{n+1}^{c^{-n-1}}<(1+p_n)^{c^{-n}}.

De la desigualdad

p_{n+1}+1<(1+p_n)^c,

obtenemos que

\boxed{p_{n}+1<(1+p_{n-1})^c}.

Usando esta desigualdad de manera reiterada

p_{n+1}^{c^{n-1}}<(1+p_n)^{c^{-n}}

<((1+p_{n-1})^c)^{c^{-n}}

<((1+p_{n-2})^{c^2})^{c^{-n}}

<\cdots

<((1+p_{1})^{c^{n-1}})^{c^{-n}}=(1+p_1)^{c^{-1}}.

Esto demuestra que todo término de la sucesión a_n=p_n^{c^{-n}} está acotado por el número (1+p_1)^{c^{-1}}.

Las observaciones que hemos hecho demuestran que la sucesión a_n=p_n^{c^{-n}} converge. Definamos el valor A como el número al cual converge, entonces

A=\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n^{c^{-n}}.

Note que A cumple la desigualdad

p_n^{c^{-n}}<A<(1+p_n)^{c^{-n}}.

\boxed{p_n<A^{c^{n}}<(1+p_n)}.

Concluyendo finalmente que

p_n\leq \lfloor A^{c^n}\rfloor<(1+p_n).

Es decir

p_n=\lfloor A^{c^n}\rfloor, para todo n natural.


Es una demostración bastante ingeniosa. Los artículos en los cuales fueron publicados son de aproximadamente tres páginas por máximo, de hecho, el artículo original de Mills es de sólo una página.

Tal y como se discute en el artículo de Caldwell et. al., los problemas que resultaban de la demostración del teorema de Mills, era la dificultad de determinar cual era el valor de la constante A. Un factor predominante es el desconocimiento del valor exacto de la constante K en el teorema de Ignham, esto sumado al hecho que, para cada valor c, existen infinitos valores A, tanto así, que para c\geq 2.106 existe una cantidad no enumerable de posibles valores para A.

En el caso en que el valor de c=2, se logró demostrar que también existen un valores A tal que se cumple la propiedad requerida. Además de mostrar que el conjunto de todos los A que cumplen esta condición tiene la cardinalidad del continuo. Esto fue demostrado por Matomäki en 2009.

Con el tiempo se lograban ciertos cálculos acerca de la constante de Mills (por constante de Mills nos referimos al teorema original, es decir, en el cual c=3), pero todo eso se lograba bajo ciertas hipótesis que no lograban demostrar. De hecho, como pueden notar en el teorema de Caldwell, todo el resultado está bajo la hipótesis de Riemann.


Referencias

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17 comentarios

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  1. ¡Jaime! said, on 4 noviembre, 2013 at 6:40 pm

    Un post realmente increíble. Nunca dejas algo interesante sin comentar, y siempre son temas muy llamativos. Mil gracias! Por cierto, tú qué opinas sobre el futuro de los números primos? Hay algún límite en lo que podemos conocer sobre ellos o sobre su forma de generarlos? 🙂

    (PD: en el ejemplo del número de Motzkin comentas el caso n=4, pero has escrito n=3)

    • ZetaSelberg said, on 4 noviembre, 2013 at 8:21 pm

      Jaime. Me alegra que te haya gustado el post :).

      Gracias por la corrección, no había caído en cuenta.

      Acerca de tu pregunta. Creo que en la actualidad se está trabajando de manera fuerte en los números primos, tanto así que creo que no sería una sorpresa que logremos resultados que quizás en épocas anteriores se creían imposibles de lograr a corto plazo. Por colocar un ejemplo te dejo este post de Gaussianos, http://gaussianos.com/de-70000000-700-en-seis-meses/. Eso muestra que la capacidad de iniciativa la hay, y eso es algo importante en matemáticas. Creo que siempre y cuando haya iniciativa y gente curiosa, no nos detendremos en el avance del conocimiento y cada vez sabremos más acerca de los números primos… y de matemáticas en general.

      Si nos vamos por la pregunta de encontrar números primos cada vez más grandes, creo que los problemas son más computacionales que matemáticos. Me refiero a que, en cuanto a criterios para conocer si un número es primo o no existen muchos, por ejemplo el teorema de Wilson: (n-1)!\equiv -1\pmod n si y solo si n es primo. El teorema de Williams

      p_n=1+\displaystyle\sum_{m=1}^{2^n}\left\lfloor\left\lfloor\frac{n}{1+\pi(m)}\right\rfloor^{1/n}\right\rfloor

      Y otros teoremas mas que se me escapan, por colocar el último: existe un número real \theta tal que

      \lfloor 2^{{.\cdot}^{.2^\theta}}\rfloor

      Es primo para cualquier cantidad de iteraciones de potencias de a dos que se hagan.

      Estos resultados hacen que nuestro trabajo sea más de verificar qué números cumplen las identidades dadas, o qué números están involucrados, como por ejemplo en los teoremas de Mills. Pero verificar estas condiciones consumen una cantidad abismal de recursos informáticos. No digo que las matemáticas no puedan aportar más, un buen resultado, del tipo: “para que M_n sea primo de Mersenne n debe ser de la forma tal” disminuiría mucho los cálculos, lo que digo es que gran peso lo lleva la parte computacional.

      Espero su visita por el blog sea de total agrado, un cordial saludo desde Colombia.

      Edit: te dejo una fuente, aunque tiene un par de errores por ahí. http://dwick.org/pages/primegenerators.pdf

  2. Javier Cano said, on 5 noviembre, 2013 at 5:00 am

    Excelente post.

    • ZetaSelberg said, on 5 noviembre, 2013 at 6:52 am

      Me alegra que te haya gustado el post Javier Cano :). Un cordial saludo desde Colombia.

  3. Javier Sebastián Cortés said, on 8 noviembre, 2013 at 1:14 pm

    Felicitaciones por el post (y por el blog en general). Es excelente que se puedan difundir las maravillas de la teoría de números.

    Podrías por favor hablarnos un poco acerca de lo que K. Ono demostró (aparentemente) en 2009 sobre que las particiones de números son “fractales” para cada primo.

    PD. Quizás un poco de teoría algebraica de números le vendría bien al blog.

    • ZetaSelberg said, on 8 noviembre, 2013 at 10:08 pm

      Hola Javier!

      Un gusto que te haya gustado el blog y mi iniciativa de divulgar teoría de números.

      Interesante lo que hablas acerca del resultado obtenido por K. Ono. Investigaré sobre eso.

      Sé que el blog no tiene nada acerca de otras ramas de teoría de números, de hecho, creo que solo he tratado con la teoría analítica de números. Esto es porque es la rama que más conozco, con la que tengo más afinidad y con la que más he trabajado. Sin embargo, gracias por el apunte, estás en toda la razón, debería incluir un poco más de teoría algebraica.

      Un cordial saludo :D.

      • Javier Cortés (@OddPrimeNumber) said, on 18 noviembre, 2013 at 1:28 pm

        Aunque actualmente termino estoy terminando el pregrado, quizá podría colaborarle en algunas entradas. Me especializo mas precisamente en teoría algebraica de números y un poco en combinatoria. Aunque me apasiona toda la teoría en general.

  4. […] primos. Esta entrada no es tan teórica, es más experimental. Hace unos días hablamos acerca de generar primos usando funciones, vimos que con polinomios el asunto es bastante grave. Demostramos que existe una función […]

  5. Carlos said, on 22 noviembre, 2013 at 10:33 pm

    Cabe aclarar que el polinomio de Euler genera cuarenta primos positivos y diferentes para los correspondientes valores sucesivos de n; dicha propiedad no la cumple el polinomio de J. Brox, el cual solo
    genera 29 primos positivos diferentes para valores consecutivos de n y el resto son repeticiones de primos ya generados (polinomio parabólico).

    En consecuencia, Euler sigue siendo el campeón.

  6. Carlos said, on 22 noviembre, 2013 at 11:22 pm

    Lo que se afirma con relación al primer polinomio de Wroblewski y Meyrignac es un imposible matemático; si dicho polinomio es el correcto.

    Falta examinar si lo dicho con respecto al segundo es cierto.

    • ZetaSelberg said, on 22 noviembre, 2013 at 11:27 pm

      Toda la razón, un polinomio está mal escrito y el otro va donde no corresponde. Gracias por el apunte 😀

  7. FABIAN said, on 9 febrero, 2014 at 6:12 pm

    yo tengo una formula que detecta el 100% de los numeros primos con un calculo simple, y descartan lo que indiscutiblemente no lo son, con la unica dificultad que tambien me detecta los numeros divisibles por numeros primos, o sea me detecta la serie. de numeros primos + los divisibles por numeros primos

    Ejemplo :

    101 Numero Primo Puro
    103 Numero Primo Puro
    107 Numero Primo Puro
    109 Numero Primo Puro
    113 Numero Primo Puro
    121 Numero Primo Puro
    127 Numero Primo Puro
    131 Numero Primo Puro
    137 Numero Primo Puro
    139 Numero Primo Puro
    143 Numero Primo Puro
    149 Numero Primo Puro
    151 Numero Primo Puro
    157 Numero Primo Puro
    163 Numero Primo Puro
    167 Numero Primo Puro
    169 Numero Primo Puro
    173 Numero Primo Puro
    179 Numero Primo Puro
    181 Numero Primo Puro
    187 Numero Primo Puro
    191 Numero Primo Puro
    193 Numero Primo Puro
    197 Numero Primo Puro
    199 Numero Primo Puro
    209 Numero Primo Puro
    211 Numero Primo Puro
    221 Numero Primo Puro
    223 Numero Primo Puro
    227 Numero Primo Puro
    229 Numero Primo Complejo
    233 Numero Primo Puro
    239 Numero Primo Puro
    241 Numero Primo Puro
    247 Numero Primo Puro
    251 Numero Primo Puro
    253 Numero Primo Puro
    257 Numero Primo Puro
    263 Numero Primo Puro
    269 Numero Primo Puro
    271 Numero Primo Puro
    277 Numero Primo Puro
    281 Numero Primo Puro
    283 Numero Primo Puro
    289 Numero Primo Puro
    293 Numero Primo Puro
    299 Numero Primo Puro
    307 Numero Primo Complejo
    311 Numero Primo Puro
    313 Numero Primo Puro
    317 Numero Primo Puro
    319 Numero Primo Puro
    323 Numero Primo Puro
    331 Numero Primo Puro
    337 Numero Primo Complejo
    341 Numero Primo Puro
    347 Numero Primo Complejo
    349 Numero Primo Puro
    353 Numero Primo Puro
    359 Numero Primo Puro
    361 Numero Primo Puro
    367 Numero Primo Puro
    373 Numero Primo Puro
    377 Numero Primo Puro
    379 Numero Primo Complejo
    383 Numero Primo Puro
    389 Numero Primo Complejo
    391 Numero Primo Puro
    397 Numero Primo Puro
    401 Numero Primo Puro
    403 Numero Primo Puro
    407 Numero Primo Complejo
    409 Numero Primo Complejo
    419 Numero Primo Puro
    421 Numero Primo Puro
    431 Numero Primo Complejo
    433 Numero Primo Puro
    437 Numero Primo Puro
    439 Numero Primo Puro
    443 Numero Primo Puro
    449 Numero Primo Complejo
    451 Numero Primo Puro
    457 Numero Primo Puro
    461 Numero Primo Complejo
    463 Numero Primo Puro
    467 Numero Primo Puro
    473 Numero Primo Puro
    479 Numero Primo Complejo
    481 Numero Primo Puro
    487 Numero Primo Puro
    491 Numero Primo Complejo
    493 Numero Primo Complejo
    499 Numero Primo Puro
    503 Numero Primo Puro
    509 Numero Primo Puro
    517 Numero Primo Puro
    521 Numero Primo Puro
    523 Numero Primo Complejo
    527 Numero Primo Puro
    529 Numero Primo Puro
    533 Numero Primo Puro
    541 Numero Primo Complejo
    547 Numero Primo Puro
    551 Numero Primo Puro
    557 Numero Primo Puro
    559 Numero Primo Puro
    563 Numero Primo Complejo
    569 Numero Primo Puro
    571 Numero Primo Complejo
    577 Numero Primo Puro
    583 Numero Primo Puro
    587 Numero Primo Complejo
    589 Numero Primo Puro
    593 Numero Primo Puro
    599 Numero Primo Puro
    601 Numero Primo Complejo
    607 Numero Primo Puro
    611 Numero Primo Puro
    613 Numero Primo Complejo
    617 Numero Primo Complejo
    619 Numero Primo Complejo
    629 Numero Primo Puro
    631 Numero Primo Puro
    641 Numero Primo Complejo
    643 Numero Primo Puro
    647 Numero Primo Complejo
    649 Numero Primo Puro
    653 Numero Primo Puro
    659 Numero Primo Puro
    661 Numero Primo Puro
    667 Numero Primo Complejo
    671 Numero Primo Puro
    673 Numero Primo Complejo
    677 Numero Primo Puro
    683 Numero Primo Puro
    689 Numero Primo Puro
    691 Numero Primo Puro
    697 Numero Primo Complejo
    701 Numero Primo Puro
    703 Numero Primo Puro
    709 Numero Primo Puro
    713 Numero Primo Complejo
    719 Numero Primo Puro
    727 Numero Primo Puro
    731 Numero Primo Puro
    733 Numero Primo Puro
    737 Numero Primo Complejo
    739 Numero Primo Puro
    743 Numero Primo Puro
    751 Numero Primo Puro
    757 Numero Primo Complejo
    761 Numero Primo Complejo
    767 Numero Primo Puro
    769 Numero Primo Puro
    773 Numero Primo Puro
    779 Numero Primo Complejo
    781 Numero Primo Puro
    787 Numero Primo Complejo
    793 Numero Primo Puro
    797 Numero Primo Complejo
    799 Numero Primo Puro
    803 Numero Primo Complejo
    809 Numero Primo Puro
    811 Numero Primo Puro
    817 Numero Primo Complejo
    821 Numero Primo Puro
    823 Numero Primo Complejo
    827 Numero Primo Puro
    829 Numero Primo Puro
    839 Numero Primo Puro
    841 Numero Primo Puro
    851 Numero Primo Puro
    853 Numero Primo Complejo
    857 Numero Primo Puro
    859 Numero Primo Puro
    863 Numero Primo Complejo
    869 Numero Primo Complejo
    871 Numero Primo Puro
    877 Numero Primo Complejo
    881 Numero Primo Puro
    883 Numero Primo Complejo
    887 Numero Primo Complejo
    893 Numero Primo Puro
    899 Numero Primo Puro
    901 Numero Primo Complejo
    907 Numero Primo Puro
    911 Numero Primo Puro
    913 Numero Primo Puro
    919 Numero Primo Puro
    923 Numero Primo Puro
    929 Numero Primo Complejo
    937 Numero Primo Complejo
    941 Numero Primo Puro
    943 Numero Primo Puro
    947 Numero Primo Puro
    949 Numero Primo Puro
    953 Numero Primo Complejo
    961 Numero Primo Complejo
    967 Numero Primo Puro
    971 Numero Primo Puro
    977 Numero Primo Puro
    979 Numero Primo Puro
    983 Numero Primo Complejo
    989 Numero Primo Complejo
    991 Numero Primo Complejo
    997 Numero Primo Puro
    911 Numero Primo Puro
    913 Numero Primo Complejo
    919 Numero Primo Puro
    923 Numero Primo Complejo
    929 Numero Primo Puro
    937 Numero Primo Puro
    941 Numero Primo Puro
    943 Numero Primo Complejo
    947 Numero Primo Puro
    949 Numero Primo Complejo
    953 Numero Primo Puro
    961 Numero Primo Complejo
    967 Numero Primo Puro
    971 Numero Primo Puro
    977 Numero Primo Puro
    979 Numero Primo Complejo
    983 Numero Primo Puro
    989 Numero Primo Complejo
    991 Numero Primo Puro
    997 Numero Primo Puro

    Lo llame complejo por es divisible por 1, por si mismo, y por al menos 1 o 2 numeros primos.

  8. Leonardo Javier Ortega said, on 10 abril, 2014 at 10:54 pm

    Otro problema aún no resuelto es el de expresar números primos mediante una suma de hasta 4 cuadrados positivos.
    Quizá pueda servir la identidad siguiente: 2n + 1 = (3n)^2 + (4n-1)^2 – (5n-1)^2 + 1^2

  9. Israel said, on 13 marzo, 2017 at 4:13 am

    Esta mal escrito el Polinomio de Euler:
    No es
    {P(n)=n^2+n+41},
    Es : {P(n)=n^2-n+41},


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