Lo fascinante de la teoría de números

Demostrando que la suma de los recíprocos de los primos diverge

Posted in Demostraciones, Números primos by ZetaSelberg on 25 noviembre, 2013

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Como sabemos, así como la suma de los inversos de los enteros positivos diverge, la suma de los inversos de los números primos también. En esta corta entrada revisaremos una corta demostración de este hecho dada por Dustin G. Mixon en la revista American Mathematical Montly.


Sea p_i el i-ésimo número primo, supongamos que la suma de los inversos de los números primos converge. Existe un valor k tal que

\displaystyle\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}<1.

Sea A el conjunto de todos los números cuyos factores primos son menores o iguales a p_k, sea B el conjunto de todos los números cuyos factores primos son mayores a p_k. Por el teorema fundamental de la aritmética, todo número puede ser representado como el producto ab donde a\in A y b\in B. Notemos ahora que

\displaystyle\sum_{a\in A}\frac{1}{a}=\sum_{n_1\geq 0}\cdots \sum_{n_k\geq 0}\frac{1}{p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}}=\left(\sum_{n_1\geq 0}\frac{1}{p_1^{n_1}}\right)\cdots\left(\sum_{n_k\geq 0}\frac{1}{p_k^{n_k}}\right).

Cada una de las sumas que aparecen en los productos es una suma geométrica, de modo que estas convergen, al ser el radio menor a uno. Es decir, podemos concluir que

\displaystyle\sum_{a\in A}\frac{1}{a}<\infty.

Ahora, sea B_m los elementos del conjunto B con exactamente m factores primos, no necesariamente distintos, entonces, teniendo en cuenta que el primo mas pequeño que aparece en esta factorización es p_{k+1}

\displaystyle\sum_{b\in B}\frac{1}{b}=\sum_{m=0}^\infty\sum_{b\in B_m}\frac{1}{b}\leq \sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}\right)^m.

Según la hipótesis del inicio, la suma

\displaystyle\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}=r<1,

de modo que al hacer la suma,

\displaystyle\sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{i>k}\frac{1}{p_i}\right)^m=\sum_{m=0}^\infty r^m<\infty,

nos queda una serie geométrica que converge, es decir

\displaystyle\sum_{b\in B}\frac{1}{b}<\infty.

Ahora, note que

\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}=\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}\frac{1}{ab}=\left(\sum_{a\in A}\frac{1}{a}\right)\left(\sum_{b\in B}\frac{1}{b}\right)<\infty.

Lo cual es una contradicción, dado que la serie armónica diverge.


Referencias

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Números aleatorios y teoría de números

Posted in Números by ZetaSelberg on 23 noviembre, 2013

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En una entrada anterior, había hablado acerca de un experimento en el cual buscaba determinar primos usando el azar. Uno de los experimentos, utilicé un pequeño programa en Java, por medio del cual se generaban números “aleatorios”. En dicha entrada hacía una aclaración en la cual indicaba que tales números no son del todo aleatorios, que de hecho, se llaman pseudo-aleatorios. El objetivo de esta entrada es ver algunos métodos por los cuales se generan números aleatorios en los cuales se utilizan algunos conceptos de teoría de números.


Generadores de congruencia lineal


El primer método que veremos, consiste en, a partir de unos datos inciales, generar números usando congruencias lineales. De manera más precisa, el método funciona así.

Generador. Dados cuatro números enteros positivos x (llamado semilla), a, b y m, se define el número x_0 como

x_0\equiv (ax+b)\bmod m.

Para todo n\geq 1 se generan de manera recursiva,

x_{n+1}\equiv x_n\bmod m.

Como te puedes dar cuenta, es un método bastante sencillo, además de ser barato. Hagamos un ejemplo.

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Experimento: Determinando números primos con eventos aleatorios

Posted in Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 14 noviembre, 2013

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Seguimos con el cuento de los primos. Esta entrada no es tan teórica, es más experimental. Hace unos días hablamos acerca de generar primos usando funciones, vimos que con polinomios el asunto es bastante grave. Demostramos que existe una función exponencial (compuesta con la función parte entera) que siempre es primo. Sin embargo, vimos que las dificultades a la hora de calcular las constantes que tienen dicha función, nos dejan tan lejos como cuando teníamos nada.

Mientras escribía esa entrada, recordaba palabras de un profesor mío, en las cuales hablaba de la aleatoriedad que aparentan tener los números primos. Recordaba que él me decía que el teorema de los números primos parece decir que al escoger un número entre cero y un valor N, la probabilidad de ser un número primo es cercano al valor 1/\ln(N). Recordé además muchas cosas que me dijo acerca de la función \mu de Möbius y aleatoriedad. Sin embargo, lo que me vino a la mente fue eso acerca de que tiene probabilidad 1/\ln(N). Entonces me hice la pregunta.

Si determinamos un número primo usando el azar… ¿Qué podemos concluir?

Es decir, si para saber si 8237 es primo, lo que hacemos es lanzar una moneda y dependiendo del resultado decidimos si será o no un número primo. No busco hallar una correspondencia verdadera ni resultados verídicos. Es decir, al estar jugando con el azar, nos podría dar que 10 es un número primo. Además, partiendo del hecho que el teorema de los números primos nos indica que dicha probabilidad es de 1/\ln(N), usar una moneda (en la cual la probabilidad es de un medio) ya estamos en contra de la teoría. Lo único que busco es experimentar.

De este modo, realicé tres experimentos. El primero con una moneda, el segundo usando un programa que genera números aleatorios y el tercero lanzando tres dados.

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Pequeña demostración del pequeño teorema de Fermat

Posted in Demostraciones, Fermat, Números primos by ZetaSelberg on 10 noviembre, 2013

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El famosísimo Pequeño teorema de Fermat cuenta con varias demostraciones, muchas cortas, como pueden verlas en la Wikipedia en inglés. Hoy daremos una demostración basada en combinatoria.

Empezaremos con una definición para entrar en contexto.

Permutación Cíclica. Dada una cadena de símbolos, una permutación es en la cual se toma el primer elemento de la lista y se coloca de último. Por ejemplo, si tenemos la lista

SELBERG

Una permutación cíclica es

ELBERGS

En la cual tomé el primer elemento S y lo coloqué al final. Puedo también pasar de a dos o más elementos al final, de esta forma

\underline{SE}LBERG\to LBERG\underline{SE}

\underline{SEL}BERG\to BERG\underline{SEL}

\underline{SELBE}RG\to RG\underline{SELBE}.

Necesitaremos el siguiente resultado

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Funciones que generan números primos

Posted in Demostraciones, MegaPost, Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 4 noviembre, 2013

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Ya hemos tratado varias veces el tema de los números primos, sabemos que hay una cantidad infinita, que el uno no es considerado un número primo, y que ciertos primos cumplen ciertas propiedades. Nuestra pregunta ahora es acerca de como encontrar primos.

Como sucede con otros objetos en matemáticas, una vez construimos el objeto, queremos algo que nos genere eso. Es una pregunta que está muy asociada a encontrar o determinar qué objetos cumplen nuestra propiedad característica. Podríamos entonces decir que un método de cribado, como la criba de Eratóstenes, nos permite “generar” primos. Sin embargo la sensación no es como tal, pues este método de cribado es un algoritmo que requiere de unos pasos por medio del cual, a partir de una lista de números, decimos cuales son primos y cuales compuestos. Esto no corresponde al concepto de generar, generar se asocia a la sensación de una máquina que produce lo que yo quiero. Esta acción es producida por las funciones. Como bien saben una función f es una “maquina” que a partir de un elemento x produce un elemento f(x). Y es de eso de lo que les vengo a hablar de funciones que generan números primos.


Euler, Legendre y demás


Empezamos con un grande de la teoría de números y las matemáticas en general. Leonard Euler encontró un polinomio que generaba primos… hasta un cierto punto. El famoso polinomio de Euler

\boxed{P(n)=n^2+n+41},

el cual toma el valor de un número primo para todo n entre cero y treinta y nueve. Siendo 41 el primo mas pequeño que nos genera y 1601 el más grande. Posteriormente se encontraron otros, por ejemplo Adrien-Marie Legendre encontró que el polinomio

P(n)=n^2+n+17

También genera números primos, sin embargo, solo cuando n va desde cero hasta quince, quedando corto ante el polinomio de Euler. Legendre encontró otro polinomio

P(n)=2n^2+39

Este último toma valores primos para cualquier n entre cero y veinte y nueve.

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