Lo fascinante de la teoría de números

Demostrando que raíz de 2013 es irracional

Posted in Irracional by ZetaSelberg on 23 octubre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Demostrando que raíz de 2013 es irracional



 

Una como para levantar ánimos y sacudir la pereza.


Supongamos que es racional, entonces, escriba

\sqrt{2013}=\displaystyle\frac{a}{b}

donde ay b son primos relativos. Entonces podemos deducir que

2013=\displaystyle\frac{a^2}{b^2}

b^2 2013=a^2.

Dado que 3|2013 entonces 3|a^2. De modo que existe s<a tal que a^2=9s^2. Sustituyendo

b^2 2013=9s^2.

b^2 671=3s^2.

Como \gcd(3,671)=1, entonces 3|b^2, luego existe t<b tal que b^2=9t^2. Sustituyendo

9t^2 671=3s^2.

3t^2 671=s^2.

t^2 2013=s^2.

2013=\displaystyle\frac{s^2}{t^2}

\sqrt{2013}=\displaystyle\frac{s}{t} .

Esto es una contradicción, ya que tanto s y t son menores a a y b respectivamente… De hecho ya es una contradicción el hecho de que 3|a y 3|b, dado que por hipótesis a y b eran primos relativos.


😀

Anuncios

Una respuesta

Subscribe to comments with RSS.


Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: