Lo fascinante de la teoría de números

Anexo: Demostración del teorema de Midy

Posted in Demostraciones, MegaPost, Números primos by ZetaSelberg on 13 octubre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Anexo: Demostración del teorema de Midy



 

Ya hace una semana vimos el teorema de Midy, al igual que tratamos varias formas y propiedades tipo Midy. Esta entrada es un anexo, un “plus”, en la cual daremos una demostración del teorema de Midy, siguiendo la exposición de Rademacher y Toeplitz en su libro “The enjoyment of mathematics: Selections from mathematics for the amateur”.


Antes de empezar a probar el teorema, necesitamos de algunos resultados acerca de fracciones, específicamente, en las cuales el numerador es menor que el denominador.

De ahora en adelante a/b denota una fracción irreducible, en la cual 1\leq a<b. Aquí vamos

Teorema 1. b no es de la forma 2^\alpha \cdot 5^\beta si y solo si la fracción es periódica.

Yo soy una persona a la cual le gusta poner ejemplos, para ver cómo pasan realmente las cosas, creo que es una manera grandiosa de generar conocimiento y despertar interés. Por tal motivo, vamos a revisar algunas divisiones, a ver qué pasa

1. Consideremos por ejemplo la fracción 3/5, si multiplicamos numerador y denominador por dos, obtenemos que

\displaystyle\frac{3}{5}=\frac{6}{10},

que como bien sabemos, 6/10 es 0,6… allí no hay lío.

2. Si por ejemplo tenemos la fracción 1/12, entonces

\displaystyle\frac{1}{12}=\frac{1}{2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1\cdot 5\cdot 5}{2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 3}=\frac{25}{100\cdot 3}=\frac{25}{3}\cdot\frac{1}{100}

la fracción 25/3 es periódica, al dividirse entre 100 seguirá siendo periódica.

3. Consideremos la fracción 3/20, entonces

\displaystyle\frac{3}{20}=\frac{3}{2^2 \cdot 5}=\frac{3}{2\cdot 5\cdot 2}=\frac{3\cdot 5}{2\cdot 5\cdot 2\cdot 5}=\frac{15}{100}=0.15

Esto nos da una idea: si b se compone sólo de potencias de dos y cinco, es posible lograr que el denominador sea una potencia de diez, al ser una potencia de diez el denominador, no podrá ser un número periódico, solo sucede que se le “agregan ceros” a la izquierda del numerador. En el ejemplo dos, el denominador se compone de un número que combina una potencia de dos con el número tres. En este caso, se pudo extraer un factor 1/100. El número que resultó fue periódico. A priori, no podemos decir que siempre que extraigamos un factor 1/10^n nos va a dar también un número periódico, este detalle toca mirarlo un poco mas. Ahora sí, una demostración del anterior teorema.


Demostración teorema 1. Empecemos por preguntarnos: ¿Cómo se halla la expansión decimal de una fracción de este tipo? Recordemos que se hace por medio de una división (claramente), y que esta división se detiene si el residuo da cero. Recordemos además, que el residuo es siempre menor que el denominador. Dado que el residuo es siempre menor que b (el denominador) y además positivo, las únicas opciones que hay para los residuos son

0,1,2,...,b-1.

Recordemos además, que dado un residuo, lo que hacemos es buscar un número tal que multiplicado por b se acerque lo más posible al residuo por debajo, es decir, si nuestro residuo es 20 y b es 7, el número que colocamos en el cociente es 2 ya que 7\cdot 2 es el número mas cercano por debajo a veinte, además nuestro nuevo residuo será seis: la resta del residuo anterior y 7\cdot 2… ¿por qué aclaro esto? porque entonces estaremos de acuerdo en qué, si eventualmente se repite un residuo, el número será periódico… ¿cierto?

Entonces, dado que los residuos están restringidos a un número finito de valores sucederá una de estas dos opciones.

Caso 1: Un residuo da cero. En este caso la fracción no es periódica, porque al ser un residuo cero la división se ha detenido. Esto quiere decir que la fracción se escribe como

a/b=0.a_1\cdots a_n

Donde a_i son valores de cero a nueve para todo i. Multiplicando y dividiendo por 10^n el miembro derecho obtenemos

\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{a_1\cdots a_n}{10^n}.

Dado que a/b es irreducible, entonces b|10^n de modo que  b=2^\alpha \cdot 5^\beta. Esto demuestra el siguiente hecho

Si la fracción no es periódica entonces b es de la forma  2^\alpha \cdot 5^\beta.

Que como puedes ver, es el recíproco del teorema.

Caso 2: Ningún residuo da cero. En este caso en particular, la división nunca para, ¿Qué pasa entonces? dado que los residuos están restringidos a un conjunto finito de valores (\{1,2,...,b-1\}) eventualmente tendrá que repetirse un residuo… entonces la fracción será periódica. Es claro que  b\neq 2^\alpha \cdot 5^\beta dado que, por la observación antes del teorema, llegaríamos a que el número no es periódico. Hemos demostrado que

Si la fracción es periódica entonces b no es de la forma  2^\alpha \cdot 5^\beta.

Esto completa la demostración.


El anterior teorema fue el primer paso para demostrar nuestro teorema de Midy. Pero necesitamos saber más acerca de dichas fracciones. En el siguiente teorema, vamos a mostrar que la fracción en cuestión es un número periódico puro, es decir, el periodo empieza justo después del punto decimal.

Teorema 2. Si \gcd(2,b) y \gcd(5,b) entonces a/b es un número periódico puro.

Antes de demostrar el teorema, vamos a hacer una división, solo para visualizar de qué manera se generan los residuos. Hagamos la división, 3/13


Ejemplo 3/13


En esta división, vamos a señalar los residuos con azul, cada vez que multiplicamos por diez algún residuo, lo indicamos con rojo. Empecemos,

d1
Dado que el dividendo es menor que el divisor, multiplicamos por diez el dividendo, así:
d2
Nuestro nuevo residuo es cuatro, multiplicamos por diez y proseguimos
d3
Nuestro residuo es uno, en este caso no basta con multiplicar por diez, toca multiplicar por diez dos veces, por tal motivo aparece un cero en el cociente. La explicación concreta de este hecho es la siguiente: multiplicamos por diez la primera vez,

d3-1

Tenemos que buscar un número que multiplicado con trece sea menor que diez, ese número es cero, de modo que en el cociente se coloca un cero, y al restar el residuo (diez) con la multiplicación (cero), dará diez nuevamente

d3-2

Entonces se multiplica de nuevo por diez. Esa es la razón por la cual se hace esto, y es con el único fin de agilizar los cálculos, ya que restar cero es un paso “inutil”. Luego…
d4
Ahora sí, proseguimos,
d5
Multiplicamos por diez…
d6
… multiplicando por diez…
d7
Nos dio residuo tres (el primer residuo que nos había dado) y así seguiría la división de manera interminable.


¿Cuál es la razón que tendrá ZetaSelberg para empeñarse en mostrarnos una división que todos sabemos hacer?

Lo que quiero es mostrarles de donde provienen los residuos, y deducir una igualdad que me relacione un residuo con otro. ¡Y vaya que este ejemplo nos muestra esa relación! Fíjate, partimos del residuo tres,

3

¿Qué hicimos? multiplicamos por diez

3\cdot 10

Dividimos por trece, obteniendo un cociente y un residuo

3\cdot 10=2\cdot 13+4

El cociente lo escribimos en el resultado de la división, y el residuo en donde corresponde… ¿Ya lo ves? Si r_m es un residuo, el siguiente residuo, r_{m+1} cumple la relación

r_m\cdot 10=q\cdot b+r_{m+1}

La anterior igualdad es la manera por la cual se relacionan los residuos. Esta igualdad es de gran utilidad para demostrar el teorema.

Ahora sí, la demostración.


Demostración teorema 2. (Recordemos que queremos demostrar que la fracción es periódica pura) Dado que el denominador no es de la forma 2^\alpha 5^\beta, por el teorema 1 sabemos que es periódico. Supongamos que r_m y r_n son dos residuos que se repiten (cosa que sabemos que pasa porque la fracción es periódica), entonces

r_{m-1}\cdot 10=q_m\cdot b+r_{m},

r_{n-1}\cdot 10=q_n\cdot b+r_{n},

Si restamos estas dos igualdades obtenemos

r_{m-1}\cdot 10-r_{n-1}\cdot 10=q_m\cdot b+r_{m}-q_n\cdot b-r_{n}

Por hipótesis r_m=r_n, luego

r_{m-1}\cdot 10-r_{n-1}\cdot 10=q_m\cdot b-q_n\cdot b

(r_{m-1}-r_{n-1})\cdot 10=b(q_m-q_n)

De modo que b divide a (r_{m-1}-r_{n-1})\cdot 10. Dado que b no es de la forma 2^\alpha 5^\beta, b no divide a diez, razón por la cual debe dividir a r_{m-1}-r_{n-1}. Pero, tanto r_{m-1} como r_{n-1} son menores a b (por ser residuos) entonces r_{m-1}=r_{n-1}. Ahora, dado que los residuos son iguales, r_{m-1}-r_{n-1}=0, esto nos dice que

(r_{m-1}-r_{n-1})\cdot 10=b(q_m-q_n)

0\cdot 10=b(q_m-q_n)

0=b(q_m-q_n)

Como b\neq 0, obtenemos que q_m=q_n, como sospechamos, al repetirse los residuos se repite el número del cociente, es decir, es periódico.

¿Qué hemos demostrado? Hemos demostrado que si dos residuos son iguales, los residuos anteriores también son iguales, además, los dígitos en la expansión decimal son iguales. Esto acabaría la demostración, pues podríamos irnos corriendo hasta mostrar que el primer residuo que se repite es el inicial. Me explico, estamos claros en que cuando se repite un residuo se repite el mismo valor en el cociente. Supongamos que dos valores en la expansión decimal son iguales, entonces provienen del mismo residuo. En las siguientes imágenes, los dígitos conectados con línea roja son iguales.

e1

Entonces los dos residuos anteriores son iguales, de modo que los dos dígitos anteriores  a cada uno, provienen del mismo residuo, al provenir del mismo residuo, son ambos iguales… entonces

e2

Por la misma razón escrita antes…

e3

¿Ya lo ves? Podemos irnos devolviendo, hasta llegar al primer dígito, el que está justo después del punto decimal.

e4 e5 e6

En esencia, lo que hemos demostrado es que el periodo empieza lo antes posible, es decir, justo después del punto decimal.


Nuestro último ingrediente en la receta nos habla acerca de la longitud del periodo. Y dice…

Teorema 3. Si \gcd(2,b) y \gcd(5,b) entonces la longitud del periodo, que denotamos por \lambda, es el menor número tal que b|10^\lambda-1.


Demotración teorema 3. Sabemos, por el teorema 2, que el número es periódico puro. Supongamos que se repite el mismo residuo después de \lambda pasos en la división, como la fracción es periódica pura, el primer residuo que se repite es a, el primer residuo. Entonces… supongamos que hemos realizado la división hasta ese punto, supongamos que el cociente que llevamos es q, dado que

\text{Cociente}\cdot\text{Divisor}+\text{Residuo}=\text{Dividendo}.

Podríamos decir que

q\cdot b+\text{Residuo}=a.

¿Qué es el residuo? Acá toca tener cuidado, debido a que en la división hemos estado multiplicando por diez los residuos, con tal de compensar el hecho de ser menor que el divisor, el residuo, al escribirse, debe ir dividido por la cantidad de ‘dieses’ que hemos multiplicado, como han sido \lambda, el residuo debe ir dividido por 10^\lambda. Habíamos supuesto que el residuo era a, entonces

q\cdot b+\displaystyle\frac{a}{10^\lambda}=a

10^\lambda q\cdot b+a=a10^\lambda

10^\lambda q\cdot b=a10^\lambda-a

10^\lambda q\cdot b=a(10^\lambda-1)

De modo que b|a(10^\lambda-1), como \gcd(a,b)=1, entonces b|10^\lambda-1. ¿Por qué es mínimo? Tarea 😉


El teorema de Midy: Demostración


Solo para recordar como es el teorema de Midy, acá está

Teorema: Sea a/p una fracción, donde a<p y p>5 es un número primo. Suponga además, que esta fracción, tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de dígitos en el periodo es par, esto es

\displaystyle\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2\cdots a_{2k-1}a_{2k}}

Si dividimos el periodo en dos mitades y los sumamos, obtenemos un número que consiste en solo nueves.

Escribamos el periodo de la fracción como P una cadena de dígitos de longitud \lambda=2l. Entonces, por teorema 2,

\displaystyle\frac{a}{p}=0.\overline{P}.

¿Recuerdan como se hace para obtener la fracción a partir de un número periódico? Eso es lo que haremos. Multiplicando y dividiendo por 10^\lambda el ambos lados de la igualdad, obtenemos

\displaystyle{10^\lambda}\frac{a}{p}=P.\overline{P},

\displaystyle{10^\lambda}\frac{a}{p}-\frac{a}{p}=P.\overline{P}-0.\overline{P},

\displaystyle\frac{a}{p}(10^\lambda-1)=P

\displaystyle\frac{a}{p}=\frac{P}{10^\lambda-1}.

Ahora, dado que el periodo es de longitud par, dividamos el periodo en dos bloques, A y B, los l primeros y los l últimos. Entonces

P=10^l A+B.

Reemplazando esto en la última igualdad

\displaystyle\frac{a}{p}=\frac{10^l A+B}{10^\lambda-1}

Como \lambda=2l entonces

\displaystyle\frac{a}{p}=\frac{10^l A+B}{10^{2l}-1}

\displaystyle\frac{a}{p}=\frac{10^l A+B}{(10^{l}-1)(10^l+1)}

Como la fracción a/p es irreducible, p|(10^{l}-1)(10^l+1), como p es un número primo, p|10^{l}-1 o p|10^l+1. Por el teorema 3, \lambda es el mínimo tal que p|10^{\lambda}-1, de modo que p no puede dividir a 10^{l}-1, al ser l<\lambda. Entonces p|10^l+1. Con esto, pasemos dicho factor a multiplicar

\displaystyle\frac{a(10^l+1)}{p}=\frac{10^l A+B}{10^{l}-1}

\displaystyle\frac{a(10^l+1)}{p}=\frac{10^l A-A+A+B}{10^{l}-1}

\displaystyle\frac{a(10^l+1)}{p}=\frac{A(10^l -1)+A+B}{10^{l}-1}

\displaystyle\frac{a(10^l+1)}{p}=A+\frac{A+B}{10^{l}-1}

Como p|10^l+1, el lado izquierdo de la igualdad es entero, de modo que necesariamente (A+B)/(10^l-1) es entero, llamelo h.

\displaystyle\frac{A+B}{10^l-1}=h

A+B=h(10^l-1)

¡Bien! Pregunta ¿Cual es el número más grande que puede tomar un número de l dígitos? Respuesta: el que se compone de l nueves, dicho número es 10^l-1, luego A\leq 10^l-1 y B\leq h(10^l-1), de modo que

A+B\leq 2(10^l-1)

Pregunta ¿Será que la igualdad se cumple? En tal caso A se compone de solo nueves y B se compone de solo nueves, esto quiere decir que

P=10^l A+B=999\cdots 999.

Pero esto indicaría entonces que el periodo no es de longitud par: el periodo es de longitud uno, y se compone del único dígito nueve. De modo que la desigualdad es estricta.

A+B<2(10^l-1)

A+B\leq (10^l-1)

Pregunta ¿Será que h puede ser cero? Claro que no, en tal caso A+B=0 y luego no habría parte decimal. De modo que la única opción que tiene h es uno. Y esto indica que

A+B=10^l-1

Es decir, la suma de los bloques es un número que se compone de solo nueves.


Referencias

  • Rademacher, H. and Toeplitz, O, The enjoyment of mathematics: Selections from mathematics for the amateur, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1957, p. 158-160.
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Una respuesta

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  1. […] otro lado, en la demostración del teorema de Midy, el teorema 3, nos dice que la longitud del periodo es el mínimo número tal […]


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