Lo fascinante de la teoría de números

El teorema de Midy

Posted in Aritmética, ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes, MegaPost by ZetaSelberg on 6 octubre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección El teorema de Midy



Entre la cantidad de resultados obtenidos en teoría de números, cada vez encontramos uno que otro resultado que te deja algo perplejo, ya sea por su demostración, ya sea por su trascendencia, o por lo que dice propiamente el teorema.

En esta entrada está uno de esos resultados, quizás no tanto por su trascendencia o por su demostración… en este caso es mas por lo que dice.


El teorema de Midy: El curioso teorema en estado de latencia


El teorema de Midy nos habla acerca de una propiedad que cumple la expansión en decimales de ciertas fracciones. Propiamente, este teorema dice

Teorema: Sea a/p una fracción, donde a<p y p>5 es un número primo. Suponga además, que esta fracción, tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de dígitos en el periodo es par, esto es

\displaystyle\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2\cdots a_{2k-1}a_{2k}}

Si dividimos el periodo en dos mitades (los primeros k y los últimos k, a esta acción la llamaremos dividir en bloques) y los sumamos, obtenemos un número que consiste en solo nueves.

Bueno, hagamos un ejemplo para ver con precisión qué nos dice este teorema.

Veamos la fracción 1/7. La expansión decimal de esta fracción es

\displaystyle\frac{1}{7}=0.\overline{142857}

El periodo se compone de una cantidad par de dígitos, 6, llamaremos a esto la longitud del periodo, entonces tomemos el número y dividamos en dos bloques, los 3 primeros y los 3 últimos: 142 y 857, al sumarlos, dan

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