Lo fascinante de la teoría de números

Demostrando que raíz de 2 es irracional: Ternas pitagóricas

Posted in ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes, Irracional by ZetaSelberg on 2 octubre, 2013

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Demostrando que raíz de 2 es irracional: Ternas pitagóricas



 

¡Ajá! Una demostración mas…


Suponga que raíz de dos es racional. Escriba

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q},

donde p y q son primos relativos. Entonces, pasando q a multiplicar y elevando al cuadrado, obtenemos

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q}

q\sqrt{2}= p

2q^2= p^2

\boxed{q^2+q^2= p^2}.

De modo que la terna (q,q,p) es una terna pitagórica.

Como es una terna pitagórica existen m y n números naturales, con m>n, tal que

q=m^2-n^2

q=2mn

p=m^2+n^2

Por la segunda igualdad obtenemos que q es par, entonces, observando la primera vemos que m y n deben tener la misma paridad.

Caso 1. m y n son impares. En este caso m=2m_1+1n=2n_1+1, de modo que desarrollando la última igualdad, quedaría como

p=4m_1^2+4m_1+4n_1^2+4n_1+2

De modo que p es par al igual que q. Esto es una contradicción ya que son primos relativos.

Caso 2. m y n son pares. En tal caso m^2 y n^2 son ambos pares, luego m^2+n^2 es par, concluyendo que p es par al igual que q. Pero p y q son primos relativos. Contradicción.


Una demostración que no propone nada del otro mundo… pero es una demostración :D.



Referencias

  • Terna Pitagórica , Wikipedia. Consultada el 29 de septiembre de 2013 a la 1:34amTerna pitagórica.


Véase también

Anuncios

3 comentarios

Subscribe to comments with RSS.

  1. J. H. Stgo said, on 5 octubre, 2013 at 3:49 am

    Quizás quieras compartir esa demostración aquí:

    http://www.irracional.org/index.php/1359/es-%24-sqrt-2-%24-un-numero-irracional

    Saludos.

    • ZetaSelberg said, on 5 octubre, 2013 at 9:59 pm

      ¡Super bueno ese hilo!

      Sacaré el tiempo para proponerla allí.

      Saludos J. H. S. Es una alegría que aún siga por estos lados :D.

  2. […] Demostrando que raíz de 2 es irracional: Ternas pitagóricas […]


Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: