Lo fascinante de la teoría de números

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Posted in ¡Qué curioso! by ZetaSelberg on 30 septiembre, 2013

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Una imagen para empezar la semana.


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Referencias

  • David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin Group (London), 1987, p. 179.
  • La imagen fue hecha con el programa Geogebra.
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Construyendo los números naturales (I): Axiomas de Peano.

Posted in Hechos Fascinantes, Reflexión by ZetaSelberg on 28 septiembre, 2013

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En teoría de números, estudiamos las propiedades de los números naturales, su factorización, soluciones de ecuaciones y otro mundo de cosas que nos ha dado de qué hablar. En esta serie de entradas, haremos algo que debimos haber hecho hace un tiempo: Construir los números naturales.


Axiomas de Peano. Empezaremos con la definición mas conocida. Esta definición se caracteriza por ser axiomática, es decir, no decimos qué son los números o como son los objetos que están en el conjunto de números naturales; a cambio, decimos qué cumplen esos objetos.

Entonces, por ejemplo, nunca decimos qué es “2”, qué es “36” o qué es “1”, solo decimos que “2”, “36” y “1” cumplen tales condiciones que se proponen sus axiomas. Bien podemos cambiar ese “2” por otro objeto, por ejemplo, “\star “, podemos cambiar ese “36” por otro objeto, llámelo “\square” y además, cambiar el objeto “1” por “\triangle” y así con todos los números… siempre y cuando cumplan los axiomas, también serán el conjunto de los naturales.

Y bueno… ¿Cómo es el asunto acá? Denotemos por \mathbb{N} a un conjunto, conjunto que llamaremos: Números naturales. En principio, desconocemos qué hay en ese conjunto, pues no hemos dicho nada de él. Entonces empezaremos con este axioma.

Axioma 1: 0 pertenece al conjunto de números naturales.

Ya tenemos un elemento en nuestro conjunto \mathbb{N}. Este primer elemento se convertirá en nuestro generador de números naturales junto con una operación llamada “sucesor” o “incremento”. Tal operación la vamos a denotar por un signo + como exponente. Es decir, el sucesor de cero se escribe como 0^+.

Axioma 2: Si n pertenece a \mathbb{N} entonces n^+ pertenece a \mathbb{N}.

Este axioma me permite decir crear nuevos naturales a partir del antiguo, dado que solo basta con hacer la operación sucesor a un elemento que ya tengo y… ¡bingo! tengo otro natural… ¿cierto?.

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