Lo fascinante de la teoría de números

Demostrando que raíz de 2 es irracional: La demostración de Ivan Niven et. al.

Posted in Irracional, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 31 diciembre, 2011

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Demostrando que raíz de 2 es irracional: La demostración de Ivan Niven et. al.



Que raíz de 2 es irracional… eso ya lo sabemos. Lo que nos queda es preguntar: ¿Cual demostración te sabes? Acá les traigo una de Ivan Niven y Maier.


Así como muchas otras demostraciones, supongamos que es racional y escribamos

\sqrt{2}=a/b,

donde la fracción es irreducible, en ese sentido, b es el mínimo valor positivo que puede ir en el denominador, con el cual se puede representar la raíz de 2 como una fracción. Como 1<\sqrt{2}<2, obtenemos que b<a<2b y entonces 0<a-b<b. Por otro lado,

a^2=2b^2

a^2-ab=2b^2-ab

a(a-b)=b(2b-a)

\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{2b-a}{a-b}

Hemos acabado, por que de este modo

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{2b-a}{a-b}

Donde, a-b<b… lo cual contradice la hipótesis.


Como pueden ver, una demostración muy sencilla. Como es de sospechar, este método se puede generalizar.


Referencias

  • E. A. Maier and Ivan Niven, A Method of Establishing Certain Irrationalities, Mathematics Magazine, Vol. 37, No. 4 (Sep., 1964), pp. 208-210

Reconozco que la actividad del blog ha bajado de una manera tremenda (Hasta el punto de ser nula). Debo reconocer que al tomar riendas de este proyecto no medí bien los tiempos, y ahora me está pasando la cuenta.

Para el 2012 (que empieza en 16 horas en el país en el que resido) prometo cuadrar calendario para el blog. Por el momento debo pedir disculpas :(.

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8 comentarios

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  1. Miguel Lacruz said, on 31 diciembre, 2011 at 8:42 am

    Me ha resultado delicioso leer esta entrada. La demostración es de lo más sencillo – ni siquiera utiliza un criterio de divisibilidad. Aprovecho este comentario para desearte un feliz año 2012.
    –Miguel

  2. Javier said, on 31 diciembre, 2011 at 9:51 am

    A mi también me ha gustado este resultado, es de esas demostraciones donde su belleza reside en su simplicidad. También celebro ver que el blog sigue y seguirá activo

    Feliz Año 2011

    Javier

    • Javier said, on 31 diciembre, 2011 at 10:06 am

      Mejor que sea Feliz 2012… 🙂

  3. ZetaSelberg said, on 31 diciembre, 2011 at 11:57 am

    Muchas gracias por los buenos deseos.

    Miguel, Me alegra que te haya gustado la entrada, muchas gracias por el apoyo 🙂

    Javier, Gracias por el apoyo y por seguir el blog

    A ambos y a todos los que leen el blog, debo darle las gracias.

  4. martinjaime80filomates said, on 25 marzo, 2013 at 9:17 pm

    Excelente entrada. Busco completar la información que aparece profundizando en el concepto de número irracional
    En mi opinión, el concepto de número irracional está muy ligado al de demostración.
    Por muchas cifras decimales que hallemos, nunca podremos estar seguros de que nunca acabarán.
    Es necesario demostrar que nunca se acabará
    Es decir, debemos usar algún tipo de razonamiento, el simple cálculo no sirve para asegurar que un número es irracional.
    Además casi siempre se trata de un tipo de razonamiento sofisticado: La demostración por reducción al absurdo. A veces se trata de demostraciones por contraposición.
    En fin muchos conceptos interesantes que se pueden trabajar en estas direcciones:

    http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/ReunionCantabria2012/Andalucia-Geometria.pdf

    http://www-didactique.imag.fr/preuve/Resumes/Arsac/Arsac02.pdf

    http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Mateducativa/demostraciones2.pdf

    http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2012/12/la-demostracion-de-apostol-de-la.html

    http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/index.php/Courant%26Robbins_M

    http://gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/

    http://gaussianos.com/una-demostracion-geometrica-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/

    http://javifields.blogspot.com/2006/03/cmo-demostrar-la-irracionalidad-de-un.html

    http://www.cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/educacion/concepciones/Concepciones del profesor de secundaria sobre la demostración matemática.*Vicario, Vicente y Carrillo, Jose.*Vicario,%20V.%20Cooncepciones%20del%20profesor%20de%20secundaria…2005.pdf

    http://funes.uniandes.edu.co/1306/

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