Lo fascinante de la teoría de números

El teorema de Levinson y la Hipótesis de Riemann

Posted in Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 16 noviembre, 2011

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección El teorema de Levinson y la Hipótesis de Riemann



Todos conocemos, hemos escuchado, o al menos hemos visto una referencia a la hipótesis de Riemann. Conocemos que es un problema abierto y bien interesante. Esta entrada no trata acerca de la hipótesis de Riemann (HR), si no acerca de un resultado muy interesante acerca del tema. Veamos

Para repasar lo que es la HR, definamos la función zeta de Riemann

Definición. La función zeta de Riemann se define como

\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}

Esta función está definida para todo s número complejo tal que \Re(s)>1.

Nada de nervios! Tenemos una función contenta definida sobre medio plano (del plano complejo).

Riemann observo que esta puede extenderse (analíticamente) a todo el plano complejo a excepción de s=1 donde tiene un polo. A esto se le llama continuación analítica.

Seguido a esto vienen resultados como que en los pares negativos la función toma el valor de cero, que la función de Riemann cumple una ecuación funcional (la cual se obtiene de la continuación analítica), que \zeta(0)=-1/2, que \zeta(3) (La constante de Apéry) es un número irracional… y cosas así.

Pero volviendo a las observaciones de Riemann, él dijo, “A caramba, parece que los otros ceros (los que no están en los pares negativos) tienen todos parte real 1/2” Bueno, quizás lo dijo en otras palabras… y en alemán, pero en esencia es lo que dijo. Veamos.

Así como lo dijimos unos párrafos antes si evaluamos la función de Riemann en algún número par negativo este da cero. Escribamos s como s=a+bi, entonces, lo que dice la HR es que si se diera el caso de que alguien encontrara algún s tal que \zeta(s)=0 y no es un par negativo, necesariamente a=1/2 y entonces s=1/2+bi. Esto se reescribe de la siguiente forma

Todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen parte real 1/2.

Nada de nervios! Tenemos la misma función contenta con muchos ceros en el plano complejo.

Este problema ha sido tratado por muchos matemáticos, todos sin lograr su objetivo hasta el momento, pero de los intentos quedan algunos resultados interesantes como lo es el de Norman Levinson.

Cuenta la historia, que un día Levinson andaba muy contento, aparentemente porque había logrado un grandioso resultado acerca de la hipótesis de Riemann.

Mas del 99% de los cero no triviales de la función zeta de Riemann tienen parte real 1/2

Wow! Esplendido, ¿Pero como así que el 99%?. Expliquemos este detalle un poco.

Suponga que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann son listados de la siguiente manera z_1, z_2, z_3,..., sea C_n el conjunto que contiene los n-primeros ceros, entonces C_1=\{z_1\}, C_2=\{z_1,z_2\}, C_3=\{z_1,z_2,z_3\} … y así. Además, defina T_n, como los ceros que están en el conjunto C_n pero que tienen parte real 1/2.

A lo que se refería Levinson era a lo siguiente

\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{|T_n|}{|C_n|}>0.99}

Un resultado envidiable, pero con una demostración incorrecta :(.

Levinson encontró un error en su demostración la cual redujo el porcentaje de 99% a 33%. Aún así, era un gran avance para las matemáticas en este problema. En la actualidad este porcentaje se ha mejorado, llegando hasta un poco más del  41%.

La demostración original de Levinson es bien ingeniosa, y su esencia permanece en las demostraciones actuales. De seguro fue una idea feliz.


Referencias

  • At least 1/3 of zeros of Riemann’s zeta function are on \sigma=1/2, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, Vol. 71, No. 4, pp. 1013-1015, April 1974. Puede ser descargado desde el siguiente enlace: http://www.pnas.org/content/71/4/1013.full.pdf
  • A short proof of Levinson’s theorem, Matthew P Young, arXiv:1002.4403v1.
  • More than 41% of the zeros of the zeta function are on the critical line, Hung Bui, Brian Conrey, Matthew Young, arXiv:1002.4127v2.
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4 comentarios

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  1. Miguel Lacruz said, on 16 noviembre, 2011 at 4:58 pm

    Gracias por este bonito post. El enunciado del resultado de Levinson debería decir \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{|T_n|}{|C_n|}>0.99.}

    Saludos,
    Miguel

    • ZetaSelberg said, on 16 noviembre, 2011 at 5:01 pm

      Corregido!
      Muchas gracias Miguel, me alegra que te haya gustado. 🙂

      Cordial saludo

  2. […] que esta semana vimos un resultado acerca de la hipótesis de Riemann (El teorema de Levinson), les dejo un comic relacionado con […]

  3. […] que esta semana vimos un resultado acerca de la hipótesis de Riemann (El teorema de Levinson), les dejo un comic relacionado con […]


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