Lo fascinante de la teoría de números

Encontrar todos los enteros

Posted in ¡Dime la solución! by ZetaSelberg on 24 octubre, 2011

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección Encontrar todos los enteros



Les dejo el problema de la semana,

Encontrar todos los enteros no negativos n tal que existen enteros a y b con la propiedad

n^2=a+b y n^3=a^2+b^2

Feliz semana! La mia anda pesada 😦

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Una respuesta

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  1. J. H. S. said, on 21 noviembre, 2011 at 2:13 am

    Supongamos que n \in \mathbb{N} es tal que su cuadrado es igual a+b y su cubo es igual a a^{2}+b^{2}. Se cumple entonces que

    0 = a^{2} + (n^{2}-a)^{2} - n^{3} = 2a^{2}-2n^{2}a+n^{3}(n-1)

    y por tanto, el discriminante de 2X^{2}-2n^{2}X+n^{3}(n-1) tiene que ser un cuadrado perfecto. Dicho discriminante es

    4n^{4} - 4(2)(n^{4}-n^{3}) = 4n^{3}(2-n).

    Por tanto, los únicos números naturales que satisfacen las restricciones dadas son 1 y 2.


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