Lo fascinante de la teoría de números

60 lo divide

Posted in Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 17 octubre, 2011

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección 60 lo divide



Les dejo el problema de la semana

Sean a,b y c tal que a^2+b^2=c^2. Comprobar que 60|abc.

¡Feliz semana!

Anuncios

Una respuesta

Subscribe to comments with RSS.

  1. J. H. S. said, on 19 noviembre, 2011 at 2:13 am

    A. abc es divisible por 3.

    Si alguna entrada de (a,b,c) es divisible por 3, terminamos. En otro caso c^{2} = a^{2}+b^{2} es igual con 2 en módulo 3, pero esto es imposible pues los cuadrados de los enteros que no son divisibles por 3 son 1 en módulo 3.

    B. abc es divisible por 5.

    Si alguna entrada de (a,b) es divisible por 5, terminamos. En otro caso, c^{2} = a^{2}+b^{2} es igual con 0, 2 ó 3 en módulo 5. En el primer caso hay nada más que hacer pues tendríamos 5 | c, de donde se desprende que 5 | abc. Los otros dos casos son imposibles pues los cuadrados perfectos son 0, 1 ó 4 en módulo 5.

    C. abc es divisible por 4.

    S alguna entrada de (a,b) es divisible por 4, terminamos. En otro caso o ambas entradas son pares o exactamente una de las dos lo es. En el segundo caso tendríamos que c^{2} = a^{2}+b^{2} es igual a 5 en módulo 8, lo cual es ciertamente imposible pues los cuadrados perfectos son 0, 1 ó 4 en módulo 8. En el primer caso la conclusión deseada es automática.

    El resultado se sigue ahora de A, B, C y del hecho que mcd(3,4,5) = 1. QED.


Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: