Lo fascinante de la teoría de números

El número aureo

Posted in ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes by ZetaSelberg on 29 septiembre, 2011

Puedes ver esta entrada en la nueva dirección El número aureo



El número áureo cumple identidades bien curiosas, vean esto (F_n es el n-ésimo valor de la suceción de Fibonacci)

\displaystyle\varphi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}

\varphi=1+\frac{1}{\varphi}

\varphi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}

\varphi=\sqrt{1+\varphi}

\displaystyle\varphi=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}

\displaystyle\varphi^a=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+a}}{F_n}

\displaystyle\varphi=\sum_{n=0}^{\infty}|F(n)\varphi-F(n+1)|

\displaystyle\varphi^n-\varphi^{n-1}=\varphi^{n-2}

\varphi=-\sin666-\cos(6\cdot 6 \cdot 6)

F_n=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n-\frac{(-1)^n}{\varphi^n}\right)

Y para terminar, una serie de Taylor

\varphi=\displaystyle\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(2n+1)!}{n!(n+2)! 4^{2n+3}}

La relación con las raíces (la tercera de la lista) nos recuerda a un grande de las matemáticas: Ramanujan


Referencias

Anuncios

4 comentarios

Subscribe to comments with RSS.

  1. J. H. S. said, on 12 octubre, 2011 at 11:49 pm

    A bote pronto: 1, 2, 5 y 8 son equivalentes. 3 y 4 también. 10 es la fórmula usual para el n-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci pero escrita en términos de la razón dorada. La 9 es la que se me hace menos clara.

    http://www.artofproblemsolving.com/Forum/download/file.php?id=19234

    Saludos.

    • ZetaSelberg said, on 14 octubre, 2011 at 2:01 pm

      A decir verdad, he estado buscando una demostración para la 9, pero aún no la he encontrado. Si la encuentras no dudes en enviarme un correo: mrselberg(at)gmail(dot)com. 😀

  2. J. H. S. said, on 19 noviembre, 2011 at 1:19 am

    La prueba de 9 es como sigue:

    A. Hacemos la conversión de grados sexagesimales a radianes en el lado derecho. Se obtiene que

    - \sin 666 - \cos 6 \cdot 6 \cdot 6 = \sin \frac{3}{10} \pi + \cos \frac{\pi}{5}.

    B. La idea ahora es calcular explícitamente la suma anterior. Como

    \sin \frac{2 \pi}{10} = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}\right) = \cos \frac{3 \pi}{10}

    y

    0 = \cos \left(\frac{2\pi}{10}+\frac{3\pi}{10}\right) = \cos \frac{2\pi}{10} \cos \frac{3\pi}{10} - \sin \frac{2\pi}{10} \sin \frac{3\pi}{10},

    se sigue que,

    \sin \frac{3}{10} \pi + \cos \frac{\pi}{5} = 2\cos \frac{\pi}{5}.

    C. Para calcular \cos \frac{\pi}{5}, utilizamos la primera identidad que aparece en B y la fórmula para el coseno del ángulo triple, que puede deducirse fácilmente de de-Moivre. Veamos. Si hacemos \theta = \frac{\pi}{10} lo que se tiene es

    \sin 2 \theta = \cos 3 \theta

    y de aquí que

    4 (\sin\theta)^2+2\sin\theta-1=0

    Resolviendo la ecuación anterior para \sin \theta se llega a que

    \sin \theta = \frac{\sqrt{5}-1}{4}.

    Así,

    2 \cos \frac{\pi}{5} = 2-4\sin^{2} \theta= 2- 4\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^{2} = 2-\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{4} = \phi,

    que es exactamente lo que queríamos obtener.

    Saludos.

    P.D. ¿Podrías borrar los 3 comentarios de arriba? ¿Hay alguna manera de activar una opción de “preview” para los que escriben comentarios? Muchas gracias y disculpa el desorden anterior.

    • ZetaSelberg said, on 20 noviembre, 2011 at 1:28 pm

      Descuida J.H.S, ya arreglé tu comentario.

      La verdad no sé si exista un plugin para agregar la opción de editar, espero que exista dado que es bastante útil. De pronto ^DiAmOnD^ me pueda colaborar con eso.

      Cordial saludo.


Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: