Lo fascinante de la teoría de números

Es divisible por 1979

Posted in ¡Dime la solución! by ZetaSelberg on 5 septiembre, 2011

El problema de la semana!

Sean p y q números naturales tales

\displaystyle\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}.

Demostrar que p es divisible por 1979

— IMO 1979

Espero sus soluciones.

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Una respuesta

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  1. juancho said, on 16 agosto, 2015 at 9:04 pm

    Podemos escribir la serie así:

    p/q = 1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/1319 – (1/2 + 1/4 + 1/6 + … + 1/1318)

    y la segunda parte es 1/2 de la serie armónica hasta 659, llamémosla H, entonces, como H = H/2 + H/2, entonces, -H/2, que es lo que tenemos, será igual a H/2 – H, así:

    p/q = 1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/1319 + [1/2 + 1/4 + … + 1/1318 – (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/659)]

    ahora se pueden unir la serie impar con la par y restamos los términos hasta el 1/659 quedando:

    p/q = 1/660 + 1/661 + … + 1/1318 + 1/1319

    Con la serie en esta forma, es relativamente fácil ver que podemos agrupar términos así:

    p/q = (660 + 1319)/(660*1319) + (661+1318)/(661*1318) + … + (989+990)/(989*990)

    De aquí vemos que los numeradores son todos 1979, luego podremos hacer:

    p/q = 1979* [ 1/(660*1319) + 1/(661*1318) + … + 1/(989*990) ]

    Pongamos que las fraciones de la derecha suman una fracción r/s, entonces, aquí s, en el peor de los casos (que no se simplifique con el numerador) será 660*661*…*1319.

    y así será:

    p/q = 1979*r/s, o lo que es lo mismo:

    ps = 1979*rq

    y como 1979 es primo, o bien divide a p o bien divide a s, pero sabemos que a s no lo divide, ya que ser primo lo hace no divisible por ninguno de los factores de s, luego tendrá por tanto que dividir a p, como queríamos demostrar.


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