Lo fascinante de la teoría de números

Números primos: Los hay de colores y sabores.

Posted in Números primos by ZetaSelberg on 2 septiembre, 2011

Blog de teoría de números que no hable de números primos o no es blog, o no habla de teoría de números. A pesar de que ya hemos mostrado ciertos resultados acerca de esta familia de números… acá va una entrada dedicada a eso.

Si bien la definición es bien corta, la diversidad de primos es grande. Esta entrada se enfoca más en eso, en mostrar la diversidad de primos… con el tiempo habrá entradas que mostraran las interesantes propiedades de esta familia.

Empecemos con la gran familia, los números primos

Definición. Un número natural es un número primo si este es mayor a uno y sólo tiene dos divisores.

De estos números sabemos que hay infinitos, que sólo hay uno que es par, que si tomamos un natural n, siempre hay un primo mayor o igual a n y menor o igual a 2n… en fin, muchas cosas. Pero pasemos a los que además de ser primos, cumplen otras propiedades.


Primos gemelos.

De estos ya habíamos hablado, de hecho hicimos una entrada en el cual mostramos los avances más significativos en estos números, véase este enlace.

Definición. Se dice que un número primo p es primo gemelo si p+2 también es primo.

De que hay infinitos primos los hay, de que hay infinitos primos gemelos, aún no sabemos.

k-primos.

De estos también habíamos hablado. Son una generalización de problema de los primos gemelos:

Definición. Dado un número par positivo k, un número primo p es k-primo si p+k también es primo.

Primo de Sophie Germain.

Si recuerdan, Sophie Germain fue un matemática que usó el nombre de Sr Le Blanc para enviarle artículos a Lagrange. Ella hizo contribuciones a la teoría de números, uno de sus contribuciones fue en el último teorema de Fermat, demostrando que si p es un número primo tal que 2Np+1 también es primo, y se cumplen otras propiedades, entonces se cumple el último teorema de Fermat para p. Desde entonces se optó por llamar a los primos p tal que 2p+1 es primo como los primos de Sophie Germain.

De Mersenne.

Definición. Un número primo es de Mersenne si es de la forma 2^n-1.

Aún no sabemos si hay infinitos de estos números, pero como consuelo, sabemos que hay 47 de estos.

De Wagstaff.

Definición. Un número primo p es de Wagstaff si

\displaystyle\frac{2^p+1}{3},

también es primo.

Estos primos están bastante relacionados con la conjetura de Mersenne. Se ha demostrado que un número primo de Mersenne no puede ser un primo de Wagstaff.

Omirp.

Estos son bastante curiosos.

Definición. Un numero primo es omirp si escrito al revés también es primo.

Por ejemplo. 13 es primo, escrito al revés, 31, también es primo, luego 13 es omirp (De hecho 31 también lo será). Un ejemplo de un número más grande es 746203.

De Fermat.

Estos primos tienen una forma similar a los de Mersenne.

Definición. Un número primo es de Fermat si se puede escribir de la forma

2^{2^n}+1

Para algún n natural.

Al igual que otras familias de números primos, desconocemos si hay infinitos.

Pitagóricos.

Sip!, los pitagóricos también tienen sus primos. Estos números se caracterizan por ser los únicos que pueden ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo, figura que les intereso mucho a ellos.

Definición. Un número primo es pitagórico si se puede representar de la forma 4n+1 para n algún número natural.

De Wieferich.

Estos números también surgieron de un trabajo relacionado con el último teorema de Fermat.

Definición. Un número primo p es  de Wieferich si p^2 divide a 2^{p-1}-1

Estos primos también están relacionados con los primos de Mersenne.


En fin, los hay de colores y sabores.

Acá sólo he mostrado 8 tipos distintos de números primos, pero existen muchos más. De hecho, hay una familia de primos que definió Paul Erdös… recuerdas cual.


Referencias

  • Todas las definiciones fueron sacadas de la Wikipedia, la enciclopedia Libre.
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3 comentarios

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  1. […] vimos en una entrada anterior, existen gran variedad de números primos en teoría de números. Hoy en partícular hablaremos un […]

  2. rrrrr said, on 28 septiembre, 2012 at 6:25 pm

    debe de haber varios ejeplos buwnos de los numero

  3. […] vimos en una entrada anterior, existen gran variedad de números primos en teoría de números. Hoy en partícular hablaremos un […]


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