Lo fascinante de la teoría de números

Conjeturas Incompatibles

Posted in ¡Qué curioso!, Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 19 agosto, 2011

La semana pasada hablamos un poco acerca de la conjetura de los primos gemelos. Dimos la definición, discutimos algunos resultados y algunos avances que se han logrado. Mostramos también su generalización, conocido como la conjetura de los k-primos y propuesta originalmente por Alphonse de Polignac.

Pero no mostramos un interesante resultado relacionado con esta conjetura: la conjetura de Hardy y Littewood acerca de la convexidad de la función \pi(x) (La función que cuenta los primos menores o iguales a x).

Hardy y Littlewood conjeturaron que para todo x,y\geq 2, se cumple que \pi(x+y)\leq \pi(x)+\pi(y). Sin embargo, esta conjetura resulta ser incompatible con la conjetura de los k-primos. Eso es lo que lograron demostrar Hensley y Richards en 1973.

Hagamos un sketch de la prueba basados en la explicación de Ariln Susana Haro Palma (Ver referencias).


Sketch. De acá en adelante a_1, a_2, ..., a_n es una sucesión de enteros positivos tales que a_i<a_j si i<j. Defina el conjunto

K(p)=\{a_i (\bmod p) |i=1,...,n\}.

Defina el número k(p) como el cardinal de K(p). Entonces, podemos reescribir la conjetura de los k-primos de esta forma:

Si para todo p número primo, k(p)<p, entonces existen infinitos enteros positivos n tales que a_i+n es primo para todo i=1,...,n.

Defina una sucesión a_1, a_2, ..., a_n, como una sucesión admisible si k(p)<p para todo primo p. Defina el número

\rho(y)=\max\{r|r\geq 0, x<a_1<a_2<...<a_r \leq x+y \mbox{ es admisible}\}.

Es decir, \rho(y) nos dice la logitud máxima que puede tener una sucesión admisible en un intervalo de longitud y.

Asumamos que \rho(y)>\pi(y) para algún y, sea r=\rho(y) y tome x<a_1<a_2<...<a_r\leq x+y una sucesión admisible. Asuma la conjetura de los k-primos, entonces, existe un n entero positivo tal que, n+a_i es primo para todo i=1...r. Observe que cada uno de los n+a_i, pertenece al intervalo (n + x; n + x + y],  por este motivo

\rho(y)=r<\pi(x+n+y)-\pi(x+n).

Escrito de otra forma

\pi(x+n)+\rho(y)<\pi(x+n+y).

Dado que \rho(y)>\pi(y), entonces

\pi(x+n)+\pi(y)<\pi(x+n+y).

Lo cual contradice el la conjetura de convexidad de la función \pi(x).

Bien! Falta un detalle, demostrar que efectivamente existe un y tal que \rho(y)>\pi(y). Pues resulta que este es el “grueso” del artículo de Hensley y Richards. Ellos probaron esto

El siguiente límite diverge a infinito

\displaystyle\lim_{y\to\infty} (\rho(y)-\pi(y))

De este modo queda probado que

k-primos \Rightarrow ¬(convexidad)

Equivalente a

convexidad \Rightarrow ¬(k-primos)

De modo que las conjeturas son incompatibles.


Es posible que ambas conjeturas sean falsas, por el momento, la mayoría de los matemáticos prefieren aceptar la conjetura de los k primo por encima de la conjetura de convexidad, la razón, según el libro Prime Numbers, es porque la segunda conjetura es cuestión de encontrar x e y suficientemente grandes tal que la desigualdad no se cumpla, es decir, un problema más computacional.

Aún así, siendo un problema computacional o no, es una conjetura, y tiene la extraña propiedad de ser incompatible con otra conjetura. ¿Conoces algún otro ejemplo de este tipo?


Referencias

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