Lo fascinante de la teoría de números

Primos gemelos: Un vistazo a algunos resultados.

Entre los problemas abiertos en teoría de números, uno de los más conocidos es La conjetura de los primos gemelos. Esta conjetura habla acerca de la existencia de parejas de números primos tales que su diferencia es 2. En términos mas matemáticos

Conjetura: Existen infinitos números primos p_i tal que p_i+2 también es primo.

Esta conjetura ha sido trabajada por mucho tiempo, además de estar relacionada con la famosa conjetura de Goldbach. Alphonse de Polignac fue quien propuso el problema pero de una manera más general.

Para todo k entero positivo y par, existen infinitos primos cuya diferencia es el número par.

A continuación haré un recuento de los resultados más notables que se han logrado acerca de esta conjetura. Quisiera decirlos todos, pero no puedo, no sólo porque no tengo conocimiento de todos, si no por que hay que resaltar algunos sobre otros.

1. Viggo Brun fue el primero en lograr un resultado no trivial

Teorema: Si \pi_2 (x) denota la cantidad de números primos gemelos menores que x entonces

\displaystyle\pi_2 (x)\ll \frac{x(\log\log x)^2}{(\log x)^2}.

La demostración de Brun es un poco trabajosa, requiere un poco de empeño, sin embargo este corolario es fácil:

Corolario: La suma de los inversos de los primos gemelos converge. Esto es, existe una constante real B tal que

\displaystyle\sum_{\substack{p\mbox{ primo}\\p+2\mbox{ primo}}}\frac{1}{p}=B.

Demostración: Consideremos la suma parcial hasta x, con x\geq 3, y usemos la fórmula de Abel en su forma de integral (También llamada fórmula de sumación parcial)

\displaystyle\sum_{\substack{p\leq x\\p\mbox{ primo}\\p+2\mbox{ primo}}}\frac{1}{p}=\frac{\pi_{2}(x)}{x}+\int_{3}^{x}\frac{\pi_{2}(t)}{t^2}\,dt.

Si usamos el teorema vemos que la suma, está acotada por

\displaystyle\frac{(\log\log x)^2}{(\log x)^2}+\int_{3}^{x}\frac{(\log\log t)^2}{t(\log t)^2}\,dt.

El primer término de la derecha tiende a cero cuando x tiende a infinito, por otro lado la integral es finita (¿Por qué?). Esto demuestra que

\displaystyle\sum_{\substack{p\mbox{ primo}\\p+2\mbox{ primo}}}\frac{1}{p}< \infty.

Si consideramos la suma

\displaystyle\sum_{\substack{p\leq x\\p\mbox{ primo}\\p+2\mbox{ primo}}}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p+2}\right)

Vemos que dicha serie converge, a una constante. Dicha constante se conoce como al contante de Brun y tiene un valor de aproximadamente 1.902160583104…. Aparte de esto, Brun obtuvo otros resultados, como por ejemplo: Existen infinitos números primos p tal que p+2 tiene siete factores primos.

2. J. R. Chen. El principal objetivo de Chen era la conjetura de Goldbach, por desgracia no lo consiguio, pero dejó un resultado muy bueno.

Teorema: Existen infinitos números primos p tal que p+2 es primo o tiene 2 factores primos.

La demostración de Chen requiere de más trabajo, en cuanto a teoría e ideas. Sin embargo, es una demostración recomendable, ya que el comienzo, el ‘Set up’ de su demostración es sencillamente Fascinante.

El resultado de Chen acerca de la conjetura de Golbach fue el siguiente:

Todo número par se puede representar de la forma p+r, donde p es un número primo y r tiene a lo sumo dos factores primos.

Podemos decir en términos futboleros que Chen le dio al poste.

3. Atle Selberg no fue partícipe directo de esta conjetura pero sin embargo se puede lograr un resultado relacionado y más general con la criba que él diseñó.

Teorema: Sea a un número par positivo, sea r_{a} el número de primos p tal que p+a es primo, entonces

\displaystyle r_{a}(x)\ll \frac{x}{\log^2 x}\prod_{p|a}\left(1+\frac{1}{p}\right).

Si  bien es cierto que con la criba de Brun se puede lograr este mismo resultado, la criba de Selberg es más sencilla y por eso le doy mérito.

4. Hardy y Littlewood trabajaron con la versión generalización del problema, y conjeturaron un comportamiento para el conjunto de k-primos, esta conjetura es conocida como la conjetura de la k-tupla. A continuación está la versión para k=2.

Conjetura: Defina la constante

\displaystyle C_2=2\prod_{p}\frac{p(p-1)}{(p-1)^2}.

Entonces

\pi_2\sim 2C_2\int_{2}^{x}\frac{dx}{\log^2 x}.

Con respecto a esta conjetura, J. Wu ha probado esto

Teorema: Para x suficientemente grande

\displaystyle\pi_{2}(x)< 2\cdot C_2\cdot 3.399 \frac{x}{\log^2 x}

5. La conjetura de Elliot-Halberstam es otra conjetura acerca de teoría de números bastante tratada. En palabras de Terence Tao, “Una especie de Hipotesis de Riemann super generalizada para cribas”.

Para no entrar en notación engorrosa o en mucho detalle que quizás espante, esta conjetura habla acerca de que tan buena es la aproximación dada en el teorema de los números primos sobre progresiones aritméticas demostrado por Hadamard y de la Vallée Pousin (i.e. el teorema de los números primos generalizado).

La razón por la cual coloqué esta conjetura es que implica el siguiente teorema

Teorema: Si p_n denota el n-ésimo número primo, entonces existen infinitos valores de n para el cual p_{n+1}-p_n\leq 16.

¡Fuerte! Esta conjetura ha sido probada para cierto caso por Bombieri y Vinogradov.

6. D. Goldston, I. Pintz y C. Yildirim lograron un resultado bien interesante. Una conjetura relacionada con este problema era medir el tamaño de la diferencia entre primos consecutivos. La conjetura decía (ahora es teorema)

Teorema: Si p_n denota el n-ésimo número primo, entonces

\displaystyle\liminf_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=0.[1]

Dejando el siguiente corolario, lo interesante es el siguiente corolario.

Corolario: Si p_n denota el n-ésimo número primo. Existe una constante c positiva tal que para n suficientemente grande

p_{n+1}-p_{n}\leq n\log p_{n}

Sin duda es un buen resultado

7. Recuerdan el teorema de Wilson, existe un equivalente para los primos gemelos.

Teorema[arXiv:math/0408018 [math.NT]]: Si n>2, entonces n y n+2 son primos si y sólo si cumplen la siguiente congruencia

4[(n-1)!+1]\equiv -n \mod (n(n+2))

No encontré la demostración del teorema anterior, me gustaría verla.

Estos siete resultados son algunos de los más importantes, sin lugar a dudas habrán algunos resultados que no nombré, ¿Recuerdas alguno?…

Tal vez alguna conjetura que sea incompatible con esta… 😉


Referencias

Notas al Pie

[1] Se sabía, por el teorema de los números primos, que el límite inferior es menor o igual a 1.

Anuncios

6 comentarios

Subscribe to comments with RSS.

  1. […] semana pasada hablamos un poco acerca de la conjetura de los primos gemelos. Dimos la definición, discutimos algunos resultados y algunos avances que se han logrado. […]

  2. […] De estos ya habíamos hablado, de hecho hicimos una entrada en el cual mostramos los avances más significativos en estos números, véase este enlace. […]

  3. […] se podría demostrar que  para infinitos valores de , del cual sólo sabemos, como vimos en esta entrada, que funciona para 16 en lugar de […]

  4. J. H. S. said, on 21 febrero, 2012 at 9:20 pm

    Professor Selberg,

    Quizás no pudo dar con la prueba de ese “teorema” que menciona al final porque es falso (al menos así como lo ha formulado).

    Por ejemplo para n=3 se tiene que n y n+2 son primos gemelos pero la congruencia no se cumple (15 no divide a 4 \times 25).

    Saludos.

    P.D. Btw, did you make it to Rutgers? 😉

    • ZetaSelberg said, on 24 febrero, 2013 at 11:08 am

      ¡Efectivamente! ¿Cómo no pude caer en cuenta de que falla con el primer par? Pero aún así, buscando en la web, me he dado cuenta de que copié mal la congruencia. Ya la corregí, e indiqué el artículo del cual lo tomé.

      Muchas gracias por estar siempre atento a las entradas.

  5. […] se podría demostrar que  para infinitos valores de , del cual sólo sabemos, como vimos en esta entrada, que funciona para 16 en lugar de […]


Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: