Lo fascinante de la teoría de números

Es cuestión de método…

Posted in ¡Qué curioso!, Números primos, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 28 julio, 2011

No es un secreto que Hardy y Ramanujan fue una de las parejas de matemáticos más productiva matemáticamente. Ellos nos dejaron muchos resultados, además desarrollaron métodos ingeniosos tales como el método del círculo y el método del orden normal.

Entre los teoremas de Hardy y Ramanujan, se encuentra este

A lo sumo, todos los números n están compuestos por \log\log n números primos. En otras palabras, si v(n) denota la cantidad de factores primos de n, entonces, el número de naturales n\leq x que no satisfacen

(1-\varepsilon)\log\log(n)\leq v(n)\leq (1+\varepsilon)\log\log(n),

es o(x), para cualquier \varepsilon>0.

Personalmente encuentro muy interesante este resultado. Si bien el resultado es bueno, la demostración original dada por Hardy y Ramanujan, que consta de 14 páginas, es complicada y difícil de llevar. Cabe decir que el artículo de Hardy y Ramanujan es interesante, aunque un poco denso. Pero tranquilos, que la dificultad de la demostración está en el método: Pál Turán encontró una demostración de dos páginas usando ideas de probabilidad.

Artículo de Hardy y Ramanujan

Artículo de Hardy y Ramanujan

La demostración dada por Turan llevó al desarrollo de la teoría probabilística de números. El método empleado por Turan es llamado método probabilístico[2]. Si bien no coincide con el método probabilístico más conocido en día (el cual consiste en demostrar que la probabilidad de un cierto hecho sea positiva) este método empleado por Turan reduce cálculos y simplifica demostraciones.

Veamos!

El método Probabilístico de Turán

En ideas generales, queremos definir variables aleatorias, de manera que la función a estudiar lleve alguna relación con estas variables. Mediante el cálculo de la esperanza, la varianza, etc. obtendremos información acerca de la función que queremos estudiar.

Vamos a explicarlo con un ejemplo. Para x entero, calculemos la suma

\displaystyle\sum_{1\leq n\leq x}\tau(n).

Sea K:=\{1,...,x\} el espacio muestral donde cada número tiene probabilidad 1/x de ser escogida[1]. Fijamos un valor n\in K, y definimos la variable aleatoria

X_{m}(n):=\begin{cases} 1 & \mbox{si }m|n \\ 0& \mbox{en caso contrario} \end{cases},

donde m\in K. De modo que X_{m} es una variable aleatoria para cada m. Todas las variables aleatorias que definimos son independientes.

Note que

X_1(n)+X_2(n)+X_3(n)+\cdots+X_{N-2}(n)+X_{N-1}(n)+X_N(n)=\tau(n),

por que el miembro derecho de la igualdad da peso (de valor uno) a los m que son divisores de n. De modo que \tau puede verse como una variable aleatoria. Calculemos su esperanza,

\mathbb{E}(X_1(n)+X_2(n)+\cdots+X_{N-1}(n)+X_N(n))=\mathbb{E}(\tau(n))

\mathbb{E}(X_1(n))+\mathbb{E}(X_2(n))+\cdots+\mathbb{E}(X_{n-1}(n))+\mathbb{E}(X_N(n))=\mathbb{E}(\tau(n))

\displaystyle\sum_{1\leq i\leq N}\mathbb{E}(X_i(n))=\mathbb{E}(\tau(n)).

Por un lado tenemos

\displaystyle\mathbb{E}(X_i(n))=\mbox{P}(X_i=1)=\frac{1}{N}k(i),

donde k(i) es la cantidad de casos favorables. ¿Cuales son los casos favorables?, son aquellos n\leq N tal que i|n. Luego

\displaystyle k(i)=\sum_{\substack{n\leq N\\ i|n}}1=\frac{N}{i}+O(1).

Entonces

\displaystyle\mathbb{E}(X_i(n))=\frac{1}{i}+\left(\frac{1}{N}\right).

Introduciendo esto en la suma, tenemos

\displaystyle\sum_{1\leq i\leq N}\mathbb{E}(X_i(n))=\sum_{1\leq i\leq N}\left(\frac{1}{i}+O\left(\frac{1}{N}\right)\right)=\sum_{1\leq i\leq N}\frac{1}{i}+O(1).

Usamos el siguiente hecho,

\displaystyle\sum_{1\leq i\leq N}\frac{1}{i}=\log N+\gamma+O\left(\frac{1}{N}\right)

para obtener

\displaystyle\sum_{1\leq i\leq N}\mathbb{E}(X_i(n))=\sum_{1\leq i\leq N}\frac{1}{i}+O(1)=\log N+\gamma+O\left(\frac{1}{N}\right)+O(1)

=\log N+\gamma+O(1).

Por otro lado,

\displaystyle\mathbb{E}(\tau(n))=\sum_{1\leq n\leq N}\frac{\tau(n)}{N}

Concluyendo,

\displaystyle\sum_{1\leq n\leq N}\frac{\tau(n)}{N}=\log N+\gamma+O(1)

\displaystyle\sum_{1\leq n\leq N}\tau(n)=N\log N+\gamma N+O(N)

Muy interesante, sin embargo no provee el mejor estimativo para la suma, y es por que se acumulan errores en la suma de las esperanzas. El mejor orden es

\displaystyle\sum_{1\leq n\leq N}\tau(n)=N\log N+(2\gamma-1)N+O(\sqrt{N})

El cual se puede obtener por el método de la hipérbola de Dirichlet… un tema que merece su propia entrada.

La demostración de Turán

De aquí en adelante p y q son primos. Vamos a considerar v(n) como una variable aleatoria, para luego calcular su esperanza. Defina la variable aleatoria

X_m:=\begin{cases} 1 & \mbox{si }m|n\mbox{ donde } m\mbox{ es un n\'umero primo}\\ 0& \mbox{en caso contrario} \end{cases}.

Donde cada número tiene probabilidad 1/N. Entonces

v(n)=\displaystyle\sum_{p\leq N}X_p.

Calculemos la esperanza,

\displaystyle\sum_{p\leq N}\mathbb{E}(X_p)=\mathbb{E}(v(n))=\displaystyle\sum_{n\leq N}\frac{v(n)}{N}.

Por un lado, al igual que en el ejemplo

\displaystyle\mathbb{E}(X_p)=P(X_p =1).

=\frac{1}{p}+O(1/N).

De este modo

\displaystyle\sum_{p\leq N}\mathbb{E}(X_p)=\displaystyle\sum_{p\leq N}\left[\frac{1}{p}+O(1/N)\right]

=\log\log N+O(1).

Hemos demostrado,

\displaystyle\sum_{n\leq N}\frac{v(n)}{N}=\log\log N+O(1).

Calculemos la varianza de v(n)

Var(v(n))=\mathbb{E}[v^2(n)]-(\mathbb{E}[v(n)])^2.

Necesitamos calcular \mathbb{E}(v^2(n)). Para esto basta con observar

\mathbb{E}(v^2(n))=\mathbb{E}\left[\left(\displaystyle\sum_{p\leq N}X_p\right)^2\right]

=\mathbb{E}\left[\left(\displaystyle\sum_{p\leq N}\sum_{q\leq N}X_p X_q\right)^2\right]

=\displaystyle\sum_{n\leq N}\sum_{q| n}\sum_{p| n} \frac{1}{N}

= (\log\log N)^2+O(\log\log N)

Con lo anterior, y dado que la varianza es el segundo momento central

Var(v(n))=\mathbb{E}[(v(n)-\mathbb{E}[v(n)])^2]=\displaystyle\sum_{n\leq N}(v(n)-\log\log N)^2,

acabamos de demostrar el teorema de Turán:

Teorema (Turán):

\displaystyle\sum_{n\leq N}(v(n)-\log\log N)^2=O(N\log\log N).

Corolario:

\displaystyle\sum_{n\leq N}(v(n)-\log\log n)^2=O(N\log\log N).

¿Hemos acabado? Sí, por el siguiente corolario

Corolario: Sea \varepsilon>0. El número de n\leq N que no satisafacen la desigualdad

|v(n)-\log\log n|<(\log\log n)^{\varepsilon+1/2}

es o(N).

Sin lugar a dudas es una demostración muy elemental e interesante.


Referencias

  • Azar y aritmética, Harald Andrés Helfgott, arXiv: 0909.0922.
  • Additive number theory: the classical bases, Melvyn B. Nathanson, Graduated texts in mathematics.
  • An introduction to sieve methods and their applications, Alina Carmen Cojocaru, M. Ram Murty, Cambridge University Press.

Notas al pie

[1] Esta es llamada la probabilidad uniforme sobre un conjunto discreto.

[2] Hay que tener cuidado. Existen ambiguedades con respecto al método probabilístico. En este caso nos referimos al calculo de funciones aritméticas en promedio, por medio del cálculo de la esperanza y la varianza. El segundo es un método que se usa para demostrar existencia de elementos en un conjunto y cosas por el estilo.

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2 comentarios

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  1. […] tan simple puede lograr semejante resultado. Supongo que también quedaron atónitos al conocer la demostración de Turan acerca de el número normal de factores […]

  2. […] tan simple puede lograr semejante resultado. Supongo que también quedaron atónitos al conocer la demostración de Turan acerca de el número normal de factores […]


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