Lo fascinante de la teoría de números

No es cubo

Posted in ¡Dime la solución! by ZetaSelberg on 28 abril, 2010

Mostrar que

(n+2)^4-n^4

Nunca es un cubo perfecto, para n\geq 1.

Vamos! es fácil!

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6 comentarios

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  1. J. H. S. said, on 30 abril, 2010 at 2:59 am

    La expresión que das es igual 8(n+1)(n^{2}+2n+2). La veracidad del aserto se tiene entonces al notar que (n+1)^{2} < n^{2}+2n+2 < (n+2)^{2}.

    • ZetaSelberg said, on 30 abril, 2010 at 3:05 am

      Perfecto! Bien hecho!

    • Asier said, on 30 abril, 2010 at 2:14 pm

      Disculpad la ignorancia, pero qué es lo que evita que (n+1) y (n^2 + 2n + 2) sean cubos perfectos?

      • ZetaSelberg said, on 30 abril, 2010 at 4:48 pm

        Lo que sucede, es que si (n+1)^2<(n^2+2n+2)<(n+2)^2, entonces (n+1)^3<(n+1)(n^2+2n+2)<(n+1)(n+2)^2, como (n+1)(n+2)^2<(n+2)^3 tendríamos que (n+1)^3<(n+1)(n^2+2n+2)<(n+2)^3, luego está entre dos cubos consecutivos: entonces no puede ser un cubo perfecto.

  2. ZetaSelberg said, on 30 abril, 2010 at 7:20 pm

    La primera vez que vi este problema hize esta prueba… la cual es matar una mosca con un cañon

    Suponga que para n un número natural (n+2)^4-n^4=k^3, por reducción de términos tenemos (n+1)(n^2+2n+1)=(k/2)^3, escriba r=k/2 entonces (n+1)(n^2+2n+1)=r^3

    Segundo, tenemos que (n^2+2n+2)-(n+1)^2=1, entonces mcd(n^2+2n+2,n+1)=1. n+1 puede ser un cuadrado cubo perfecto, dado a que n+1 y n^2+2n+2 son primos relativos, bastaría con encontrar un absurdo para el segundo polinomio.

    Tercero, suponga n^2+2n+2=t^3 entonces n^2+2n+1=t^3-1, luego (n+1)^2=t^3-1, en conclusión 1= t^3- (n+ 1)^2, pero el teorema de Mihăilescu (acerca de la Conjetura de Catalan) dice que la única solución es t=2 y n+ 1= 3, de manera que tenemos n=2 y (n+ 2)^4 -n^4= 240, pero 240 no es un cubo perfecto. Entonces nunca es cubo perfecto.

    Que cañonazo! Me recuerda este post en Gaussianos

  3. Asier said, on 1 mayo, 2010 at 7:02 am

    Gracias por la aclaración, ZetaSelberg.


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