Lo fascinante de la teoría de números

El problema…

Sea C(n), el número de formas de escribir n como la suma de dos cuadrados.

Demostrar que

\displaystyle\sum_{1\leq n\leq x}C(n)\sim\pi x

¡Vamos Muchachos! ¡Quiero sus soluciones!

Al parecer el número \pi se encuentra en lugares donde uno menos espera. La igualdad para la fórmula se tiene de esta forma

\displaystyle\sum_{1\leq n\leq x}C(n)=\pi x+O(\sqrt{x})

Interpretado como: si sumamos la cantidad de representaciones de un número como suma de dos cuadrados, de los números desde uno hasta n, en promedio estos son como \pi. Veamos

  • Representaciones de uno: 1^2+0^2, (-1)^2+0^2, 0^2+1^2, 0^2+(-1)^24.
  • Representaciones de dos: 1^2+1^2, (-1)^2+1^2, 1^2+(-1)^2, (-1)^2+(-1)^2. 4.
  • Representaciones de tres: 0.
  • Representaciones de cuatro: 2^2+0^2, (-2)^2+0^2, 0^2+2^2, 0^2+(-2)^2. 4.
  • Representaciones de cinco: 2^2+1^2, 2^2+(-1)^2, (-2)^2+1^2, (-2)^2+(-1)^2, 1^2+2^2, (-1)^2+2^2, 1^2+(-2)^2, (-1)^2+(-2)^2 8
  • Representaciones de seis: 0.
  • Representaciones de siete: 0.
  • Representaciones de ocho: 2^2+2^2, (-2)^2+2^2, (-2)^2+(-2)^2, $late 2^2+(-2)^2$. 4
  • Representaciones de nueve: 3^2+0^2, (-3)^2+0^2, 0^2+3^2, 0^2+(-3)^2. 4.

Sumando tenemos 4+4+0+4+8+0+0+4+4=28, el cálculo fue hasta nueve, entonces

\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{1\leq n\leq 8}C(n)}{9}=\frac{24}{9}=3.\overline{1}

Obtener una fórmula cerrada para la C(n), luce un problema bastante complicado, de hecho lo es. Aún así, sabemos que un número se escribe como su de dos cuadrados si y solo si todos los primos en su factorización que tienen la forma 4k+1 aparecen a una potencia par, esto último fue establecido por Euler en 1738.

Podemos generalizar la función C(n) a C_{k,r}(n), donde C_{k,r}(n) es la cantidad de representaciones de n como la suma de k números, cada uno de los cuales es una r potencia de un entero[1]. Encontrar un comportamiento asintótico para

\sum_{1\leq n\leq N}C_{k,r}(n)

sería bastante interesante…

———————————————

Referencias

Notas al pie

[1] Esto está muy relacionado con el problema de Waring. Problema del cual estoy editando una entrada.

Anuncios

5 comentarios

Subscribe to comments with RSS.

  1. JuanPablo said, on 27 abril, 2010 at 5:15 am

    mmm…. no la voy a tipear de nuevo… te dejo un link con la solución.

    Animo con el blog!

    • ZetaSelberg said, on 30 abril, 2010 at 3:09 am

      Bien!, Me ha gustado tu solución y tu Blog!

      Gracias por leer! Y por el ánimo.

    • autokredit said, on 8 junio, 2017 at 3:36 am

      Hi Marlee,Thanks for reading and commenting! Yes, I think that when you first start out it is very tempting to take on every client or customer that comes to you, but in the long run you learn to be more selective about who you work with and for. Thanks again for stopping by.

  2. […] This post was mentioned on Twitter by ZetaSelberg. ZetaSelberg said: El problema…: http://wp.me/pTtgl-2f […]

  3. Enki said, on 17 noviembre, 2012 at 5:28 pm

    Excelente blog.


Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: