Lo fascinante de la teoría de números

Notación

Pondré aquí la notación que se utiliza en este blog, al igual que una lista de funciones en teoría de números. Esta página se actualiza constantemente conforme a se publican entradas.

Relaciones entre funciones

  • f\sim g si \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1
  • Cuando escribimos f=O(g) significa que existe una constante absoluta C>0 tal que |f|\leq C|g|.
  • Cuando escribimos f=o(g) significa \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0.
  • Cuando escribimos f\asymp g singnifica f=O(g)g=O(f). Si esto sucede se dice que el orden correcto de f es g.

Funciones aritméticas

  • \log x, es siempre el logaritmo natural.
  • d(n), es la función que indica cuantos divisores tiene n.
  • mcd(n,m), el máximo común divisor.
  • mcm(n,m), el mínimo común múltiplo.
  • \mu(n), es la función de Möbius: 0 si n es divisible por algún cuadrado, 1 si n=1, (-1)^k si n=p_1 p_2\cdots p_k.
  • \varphi(n), es la función de Euler: \varphi(n) es la cantidad de números menores a n que sean primos relativos a n.
  • \zeta(s), es la función zeta de Riemann[1]:

\zeta(s):=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.

  • \pi(x), es la función que cuenta los primos menores a x. El teorema de los números primos afirma que

\pi(x)\sim\displaystyle\frac{x}{\log x}

Este teorema fue demostrado por Hadamard y de la Vallée Poussin de manera independiente[2].

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Notas al pie

[1] En principio esta función está definida para todo s real mayor estricto a uno, sin embargo, esta se puede extender a todo el plano complejo excepto s=1, en la cual se encuentra un polo. Ya habrá una entrada para este tema.

[2] Este teorema guarda una historia realmente Fascinante, historia en la cual está envuelta Atle Selberg, uno de los más grandes matemáticos del siglo XX…

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