Números primos: Los hay de colores y sabores.
Blog de teoría de números que no hable de números primos o no es blog, o no habla de teoría de números. A pesar de que ya hemos mostrado ciertos resultados acerca de esta familia de números… acá va una entrada dedicada a eso.
Si bien la definición es bien corta, la diversidad de primos es grande. Esta entrada se enfoca más en eso, en mostrar la diversidad de primos… con el tiempo habrá entradas que mostraran las interesantes propiedades de esta familia.
Empecemos con la gran familia, los números primos
Definición. Un número natural es un número primo si este es mayor a uno y sólo tiene dos divisores.
De estos números sabemos que hay infinitos, que sólo hay uno que es par, que si tomamos un natural 
Es cubo y es único
Vamos con el problema de la semana. Es uno bastante sencillo.
Demostrar que hay un único número primo
tal que
es cubo.
Espero sus soluciones.
Referencias
- Revista Axioma, Año 3, número 13.
El problema es la solución
El problema de esta semana es bastante curioso. Muchos de los problemas en matemáticas son planteados de esta manera: “Cual es el mínimo número que cumple la propiedad …”, o “Cuales son las soluciones enteras a la ecuación…”. Esta vez vamos a intentar lo contrario
Dime un problema cuya solución sea 7.
Claramente, que no sean problemas triviales, como “Encontrar la solución a 
Espero sus problemas 
Aca les dejo el mio, que a la larga es bastante sencillo.
Encontrar el número entero positivo más pequeño que no se escribe como la suma de a lo sumo tres cuadrados.
Conjeturas Incompatibles
La semana pasada hablamos un poco acerca de la conjetura de los primos gemelos. Dimos la definición, discutimos algunos resultados y algunos avances que se han logrado. Mostramos también su generalización, conocido como la conjetura de los 
Pero no mostramos un interesante resultado relacionado con esta conjetura: la conjetura de Hardy y Littewood acerca de la convexidad de la función 
Hardy y Littlewood conjeturaron que para todo 
Google y su Doodle de Fermat
Muchos somos los que tenemos la página de Google como página de inicio. Hoy me llevé la alegre sorpresa de ver esta imagen cuando abrí mi navegador
Doodle en dedicado a Fermat
¿La razón? Hoy hace 410 años nació Pierre de Fermat, un matemático (y jurista) que aportó mucho a las matemáticas. Hagamos una pequeña lista.
- El pequeño teorema de Fermat: Si
es un número natural, primo relativo a
- El teorema de Fermat en análisis: Si una función f alcanza un máximo o mínimo local en
, y si la derivada
existe en el punto
.
- Acerca de primos que se expresan como suma de dos Cuadrados: Un número primo
o
.
- Esto lo dijo Fermat[1] y lo demostró Gauss, que luego escribió de esta forma (Hacer click en la ecuación para ver el teorema en Wikipedia)
Y por último, la vieja conocida
Sea
, entonces no existen
números naturales mayores o iguales a 1 que cumplen la ecuación
.
–Fermat
Actualización:
- Así como lo apuntó coquitao en el primer comentario, el teorema como es mostrado en la imagen no está del todo correcto, faltan condiciones sobre
y
.
- Si entran en la página de Google de Reino Unido, al poner el ratón sobre el Doodle aparece un texto bastante conocido… Acá les dejo el link para que prueben.
- Para los que no alcanzaron a ver el texto que aparecía en el Doodle, les dejo una imagen
Doodle con texto en español
Sip! Es la versión Doodle de la famosa frase que escribió Fermat en el margen de el libro Aritmética de Diofanto, asegurando tener una demostración maravillosa de este teorema, pero muy larga para el margen sobre el cual escribía la nota. Puede que tal demostración maravillosa no exista, teniendo en cuenta la demostración de Andrew Wiles, quizás el gran Fermat se equivocó… Se imaginan si en vez de márgenes Fermat hubiera utilizado tweets para sus ‘notas’.
Referencias
- Pierre de Fermat, Wikipedia. Recuperado el 17 de Agosto de 2011, http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat
- Weisstein, Eric W. ”Fermat’s Polygonal Number Theorem.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource.
- La imagen fue tomada de Google.com
Notas al Pie
[1] Fermat dijo que él lo demostró, sin embargo nunca se encontró tal demostración… al igual que nunca se encontró la maravillosa demostración del último teorema de Fermat.
Primos gemelos: Un vistazo a algunos resultados.
Entre los problemas abiertos en teoría de números, uno de los más conocidos es La conjetura de los primos gemelos. Esta conjetura habla acerca de la existencia de parejas de números primos tales que su diferencia es 2. En términos mas matemáticos
Conjetura: Existen infinitos números primos 
Esta conjetura ha sido trabajada por mucho tiempo, además de estar relacionada con la famosa conjetura de Goldbach. Alphonse de Polignac fue quien propuso el problema pero de una manera más general.
Para todo
A continuación haré un recuento de los resultados más notables que se han logrado acerca de esta conjetura. Quisiera decirlos todos, pero no puedo, no sólo porque no tengo conocimiento de todos, si no por que hay que resaltar algunos sobre otros.
El uno es cuadrado, el otro no es primo
Acá van dos problemitas sencillos para espantar la pereza.
Encontrar los
entero positivo tal que
es cuadrado perfecto.
Albania IMO TST 2009
El segundo
Demostrar que
no es un número primo para cualquier número primo
.
Albania IMO TST 2011
Y como de costumbre, mi reflexión/pregunta capciosa. Viendo el segundo problema, ¿Es posible establecer un resultado general? Me explico:
Qué condiciones sobre
y
deben existir para que la ecuación
,
sea un número primo.
Atle Selberg – Biografía
Atle Selberg nació en Noruega el 17 de Junio de 1917, en la pequeña ciudad de Langesund, al sur de ese país. Nació y creció en una familia de ciencia, su padre, que era profesor, tenía un P.h. D en matemáticas, además dos de sus hermanos también fueron profesores en la misma área. Según cuentan, desde el colegio mostró un gusto por las matemáticas, siendo Ramanujan quien lo inspiraba, más aún, se cuenta que fueron los trabajos de Ramanujan los que despertaron el gusto por las matemáticas (y a quién no).
Selberg demostró ser un buen estudiante, de hecho, a la edad de 12 años estudiaba matemáticas a un nivel universitario. Su precocidad se ve reflejada en el primer artículo que publicó en el ‘Journal Norsk Matemastik Tidsskrift’, “On Some Arithmetical Identities “, a la edad de 17 años, cosa que muy pocos matemáticos han hecho.
Sus estudios universitarios se llevaron a cabo en la Universidad de Oslo, donde obtuvo su título de matemático y de Doctor. Además de obtener su primer titulo académico, Selberg empezó a enfocarse en un problema: La hipótesis de Riemann. Selberg empezó a tratar con uno de los problemas abiertos más famosos, difíciles e interesantes de las matemáticas, si bien a lo largo de su carrera universitaria no pudo resolver el problema, ya cuanto finalizó sus estudios de doctorado había publicado 12 artículos, los cuatro últimos acerca de la función zeta de Riemann [1]. Esto da inicio la carrera investigativa de un gran matemático.
Irreducible
Empezamos la semana con dos problemitas sencillos.
Demostrar que la fracción
,
es irreducible para todo
IMO (1959) – Dia 1
El otro
Considere la sucesión
, donde
es una potencia de
Pensando en el problema anterior, me surgió esta pregunta
Considere la misma sucesión del problema anterior. ¿Existen infinitos
Alguna idea con este último.
El teorema de Jordan y la suma de inversos de primos
Aclaración: No el teorema de la curva de Jordan.
Los números primos son un tema fascinante. Estudiarlos, encontrar fórmulas, demostrar comportamientos, etc. Es uno de los hobbys entre la comunidad matemática que más se ejerce. Hoy les mostraré un teorema del estilo. El teorema de J. H. Jordan.
Todos sabemos que existen infinitos números primos, más aún, que la suma de sus recíprocos diverge. Sabemos con qué velocidad diverge ( como 
Problema 1. La suma de los recíprocos de los primos de la forma 
¿Corchados? Espero que no.
ZetaSelberg
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