Lo fascinante de la teoría de números

El número aureo

Posted in ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes by ZetaSelberg on 29 septiembre, 2011

El número áureo cumple identidades bien curiosas, vean esto (F_n es el n-ésimo valor de la suceción de Fibonacci)

\displaystyle\varphi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}

\varphi=1+\frac{1}{\varphi}

\varphi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}

\varphi=\sqrt{1+\varphi}

\displaystyle\varphi=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}

\displaystyle\varphi^a=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+a}}{F_n}

\displaystyle\varphi=\sum_{n=0}^{\infty}|F(n)\varphi-F(n+1)|

\displaystyle\varphi^n-\varphi^{n-1}=\varphi^{n-2}

\varphi=-\sin666-\cos(6\cdot 6 \cdot 6)

F_n=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n-\frac{(-1)^n}{\varphi^n}\right)

Y para terminar, una serie de Taylor

\varphi=\displaystyle\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(2n+1)!}{n!(n+2)! 4^{2n+3}}

La relación con las raíces (la tercera de la lista) nos recuerda a un grande de las matemáticas: Ramanujan…

Referencias

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Tantas pruebas para un teorema

Posted in ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes by ZetaSelberg on 9 septiembre, 2011

En cualquier rama de las matemáticas, uno encuentra distintas maneras de demostrar el mismo hecho; en teoría de números pasa lo mismo. Hay un teorema que contiene una larga lista de demostraciones: La ley de reciprocidad cuadrática.

La ley de reciprocidad cuadrática tiene más de 233 demostraciones.

Fascinante! Pero hay que mirar al fondo y ver lo que verdaderamente significa: el desarrollo de una teoría. ¿Cómo es posible que haya tantas demostraciones? Una razón puede ser el estudio de la teoría de números algebraica. A decir verdad, no hay una sola ley de reciprocidad cuadrática (aunque suele llamarse así a la ley de reciprocidad mostrada por Legendre y completada Gauss), existen varias leyes, de hecho hay un libro que habla acerca de ellas: Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein de Franz Lemmermeyer.

Un ejemplo de una ley de reciprocidad poco común es la ley de reciprocidad ‘óctica’ de Eisenstein:

Definición: Sea \zeta tal que 2\zeta=\sqrt{2}+\sqrt{2}i. Para un elemento \alpha en \mathbb{Z}[\zeta], defina el símbolo ‘óctico’ módulo \alpha, denotado [\beta/\alpha], como 1 sí x^8\equiv \beta\bmod\alpha tiene solución y -1 en caso contrario.

Teorema: Sea a\in\mathbb{Z} y \alpha\in\mathbb{Z}[\zeta] tal que \alpha es congruente a 1 módulo 2(1+\zeta). Entonces

  \displaystyle\left[\frac{\alpha}{a}\right]=\left[\frac{a}{\alpha}\right], \left[\frac{\zeta}{a}\right]=\zeta^{(a^2-1)/4}, \left[\frac{1+\zeta}{a}\right]=\zeta^{(a^2-1)/8}

En el siguiente enlace se puede ver el recuento de las primeras 233 demostraciones con su fecha (nombre del artículo o libro), autor y el método utilizado: Proofs of the Quadratic Reciprocity Law. Cabe resaltar que 45 demostraciones están basadas en el lema de Gauss.

Termino con dos cosas, la primera es otro enlace con la demostración de Eisenstein: Eisenstein’s Misunderstood Geometric Proof of the Quadratic Reciprocity Theorem.

La segunda es con una frase de  Lemmermeyer

La historia de las leyes de reciprocidad es la historia de la teoría de números algebraica.

Referencias

  • Reciprocity laws: from Euler to Eisenstein, Franz Lemmermeyer. Library of Congress Cataloging-in-Publication Data, 1962.

Notas

  • Lo de ‘óctico’ suena feo, pero no encontré traducción y pues decidí irme por ese nombre :) .

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¡Es real!

Posted in Hechos Fascinantes by ZetaSelberg on 1 septiembre, 2011

- Estudiante 1 (E1): Mira esta mentirota

i^i=e^{-\pi/2}=0.207879576350761908546955...

- Estudiante 2 (E2): ¿Mentirota? :D

- E1: Claramente eso no puede ser real

- E2: ¿Claramente? :D

- E1: … lo es?

- E2: ;)

Sí, es real y la demostración es sencilla :) .

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El conde MacMahon y la función partición

Posted in ¡Qué curioso!, Hechos Fascinantes, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 26 agosto, 2011

La manera en como los matemáticos intentamos resolver problemas o intentamos dar un acercamiento a un problema dando una buena conjetura es, por lo general, sentarnos y pensar a ver si se nos ocurre una idea feliz. Muchos matemáticos, usan probabilidad para hacer sus conjeturas y luego probarlas (algunos sólo hacen la conjetura y no logran probarla). Otros se dejan llevar por la intuición… pero el que viene a continuación, este fue especial.

Vamos a dar un contexto del tema para que se entienda mejor. Sea n un número natural cualquiera. Decimos que una partición de n es una expresión de la forma a_1 +a_2 + ...+a_m donde a_i son enteros positivos para cada i.

Por ejemplo: 2+1 es una partición de 3, 1+1+1 también lo es. Note que 2+1 y 1+2 son ambas particiones de 3, aunque usen los mismos números, pero en diferente orden.

Queremos saber, dado un número natural, cuantas particiones tiene. Si no tenemos en cuenta el orden, es decir, si decimos que 1+2 es una partición distinta a 2+1, entonces un número n tiene 2^{n-1} particiones (Te atreves a probarlo). Pero si decimos que representan la misma partición el problema es un poco más complicado.

Defina p(n) como la función que cuenta la cantidad de particiones de un n, sin contar el orden… y leamos esta curiosa anécdota del Conde MacMahon.

(más…)

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Hechos fascinantes

Posted in Hechos Fascinantes by ZetaSelberg on 18 agosto, 2011

Hoy vamos a inaugurar una nueva categoría en el blog, llamada Hechos fascinantes. La idea es que en esta categoría van, teoremas, identidades, fórmulas, anécdotas, etc. Que por su naturaleza misma sobresalen sobre los demás de su clase, ya sea por lo extraños, por su historia, por su trascendencia en las matemáticas o algo parecido.

Para inaugurar, traigo una de las tantas fórmulas de Srinivasa Aiyangar Ramanujan

Denotando n!! como el doble factorial

\displaystyle\frac{1}{\pi}=\sqrt{8}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1103+26390n)(2n-1)!!(4n-1)!!}{99^{4n+2}32^n (n!)^3}

–S. A. Ramanujan

Si bien Ramanujan encontró fórmulas bastante curiosas para \pi, más interesante aún es que tales fórmulas convergen rápidamente. Esta última fórmula aporta 8 decimales por cada sumando. Según Ramanujan, el recibia estas maravillosas fórmulas de Dios.

Referencias

  • Clifford A. Pickover, A Passion for Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 2005.
  • Srinivasa Aiyangar Ramanujan, Wikipedia – La enciclopedia libre. Recuperado el 16 de agosto de 2011.

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