Lo fascinante de la teoría de números

Existen infinitos primos de la forma 4k+1, pero sólo hay finitos de la forma 4p+1

Posted in Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 29 mayo, 2012

Creo que ya es evidente mi problema con el tiempo :( .

Con mucha tristeza les notifico que he decidido hacer oficial el cese del blog. No he encontrado un espacio para el ocio, y eso es muy triste para una matemático. Esta entrada, lo escribí desde el año pasado, ya casi ni recuerdo bien como es la demostración (la que yo encontré) del resultado al final de la entrada.

Cuando digo “hacer oficial” es por que tenía (tengo) la esperanza de que en un momento pueda volver a la actividad normal del blog, pero ya siento pena con mis lectores, empecé algo con lo cual no pude. Dejándome llevar por mi fascinación, no tuve en cuenta la variable tiempo.

A continuación les dejo la que de momento es la última entrada. Espero poder escribir pronto.

El teorema de Dirichlet es uno de los resultados mas grandes obtenidos en teoría de números. Este teorema calma por completo la curiosidad de saber si una progresión aritmética contiene infinitos números primos.

Dados a,b\in\mathbb{N}, la progresión aritmética ax+b, donde x recorre los naturales, contiene infinitos números primos si y sólo si (a,b)=1, i. e. a y b son números primos relativos.

Con este teorema todo se reduce a coser y cantar.

Como caso particular, la progresión aritmética 4m+1 contiene infinitos números primos, ya que (4,1)=1. Aún así veamos otra demostración de este hecho.

Supongamos, por contradición, que existen finitos números primos de la forma 4m+1, listelos como p_1,...,p_n, consideremos el número

\displaystyle N=4\left(\prod_{k=1}^n p_k\right)^2+1

De este modo N>p_i para cualquier i=1,...,n. Ahora N es primo o compuesto, si es primo habrá una contradicción, ya que habremos encontrado un primo fuera de la lista. Si N es compuesto, sea p|N, p distinto de uno, entonces

4\left(\prod_{k=1}^n p_k\right)^2\equiv -1\pmod{p}

\left(2\prod_{k=1}^n p_k\right)^2\equiv -1\pmod{p}.

En otras palabras, la ecuación cuadrática

x^2\equiv -1\pmod{p}

tiene solución, esto es

\boxed{\left(\frac{-1}{p}\right)=1}.

Uno de los suplementos de la ley de reciprocidad cuadrática dice que esto pasa si y solo si p es de la forma 4m+1. De modo que hemos encontrado un número primo de la forma 4m+1, si verificamos que no es uno de los listados habremos terminado. ¿Puede ser posible esto? De serlo, entonces

\displaystyle p|\prod_{k=1}^n p_k.

Este hecho, junto con p|N implicaría que p|1, contradicción. De modo que p es un primo distinto al listado, y esto termina nuestra demostración.

Bastante bonito, pero podemos sacar más información acerca de está sucesión de naturales. Resulta y pasa, que a pesar de que la progresión contiene infinitos números primos, la subsuseción 4p+1 donde p es primo sólo contiene finitos primos. Bueno, tampoco es que sorprenda del todo, ya que el hecho de que la sucesión grande contenga infinitos números primos no implica que también la más pequeña, pero sí es algo que contrasta (o al menos me vino en gracia :D ). Más tarde, veremos el por qué del segundo hecho.

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Selberg acerca del último teorema de Fermat

Posted in ¡Qué curioso!, Citas Matemáticas, Reflexión by ZetaSelberg on 6 enero, 2012

Repasando una de las entrevistas que dio Selberg, he encontrado una referencia de él acerca del UTF que he querido compartir. La entrevista fue hecha por  Nils A. Baas y Christian F. Skau. La original está en Noruego, dificíl para quien no habla el idioma, pero en Bulletin of the American Mathematical Society aparece una parte en inglés. A continuación coloco una traducción para su deleite.

Pregunta: Un famoso problema que fue resuelto unos años atrás fue el último teorema de Fermat. Muchos aclamaran este logro como una victoria para las matemáticas modernas, dicho logro requirió de una enorme maquinaria de herramientas modernas para lograr el objetivo. Nosotros tenemos una pregunta para ti acerca de esto. ¿Crees que aparecerá, con el tiempo, una demostración sencilla?, ¿O crees que este es el futuro, es decir, que necesitaremos gran maquinaria para resolver problemas aparentemente elementales tipo Fermat?

Respuesta: Es ciertamente posible que alguien encuentre una demostración más simple en el futuro. Yo no estoy habilitado para decir de qué manera será esta demostración. Hay dos problemas acá: Uno puede encontrar una gran simplificación de la prueba de la cual disponemos, la cual recae en la conexión de la curva cúbica que debe existir en caso de existir una solución a la ecuación de Fermat; pero también podría pasar que encontremos una demostración que no usa esta conexión. Yo no creo que alguien esté en disposición de re descubrir la demostración original de Fermat.

Pregunta: ¿Existe tal demostración?

Respuesta: Nadie puede vencer a Fermat, ¿Puede alguien? Él fue una persona muy inteligente, Fermat. No dudes acerca de eso.

Pregunta: ¿Pero tu realmente no crees que él tenía una demostración?

Respuesta: O él la tenía, y no pudo encontrar suficiente espacio para escribirla, o él descubrió después que esta demostración no estaba del todo correcta como él creía. Pero es poco probable que tuviera una prueba porque el sabía muy poco acerca de números algebraicos en ese entonces. Si todo anillo algebraico tuviera un bonito algoritmo de Euclides, entonces hubiese sido posible para él construir una demostración, pero tales algoritmos rara vez existen, de hecho.

Referencias

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Atrapando leones con Matemáticas

Posted in Actividades, ¡Qué curioso! by ZetaSelberg on 4 enero, 2012

Sí, este año lo empezamos con un “safari matemático”… Cazando leones. A lo que me refiero es a una broma (o burla) matemática la cual consiste en elaborar estrategias para cazar un león usando conceptos matemáticos. A decir verdad desconozco la antigüedad de este asunto, pero la he encontrado muy graciosa.

El ‘Statement’ del problema es el siguiente (aunque arriba está dicho)

Dada el habitad del León, encontrar la manera de atraparlo o cazarlo usando conceptos matemáticos.

Empecemos con un ejemplo sencillo, el del algebrista.

Problema: ¿Cómo cazar un león en la selva?

Solución: Con un puñal. La selva es un campo, y en el campo está el león, como es un campo todo elemento tiene inverso, el inverso del león es uno sobre el león, cuando uno está sobre el león le clave el puñal.

Como puedes ver esta es una aplicación válida, aunque un poco tramposa, ya que pasa del lenguaje matemático al normal para cambiarle el sentido a las palabras. Veamos otra, esta ya no es tan tramposa.

El método de la geometría inversa

Problema: ¿Cómo atrapar un león en el desierto?

Solución: Ubicamos una jaula esférica en el desierto, entramos a ella y le ponemos llave. Aplicamos una inversión con respecto a la Jaula. Ahora el León está dentro y nosotros afuera. Lo atrapamos!

La siguiente es un poco más friki,

El método de Cauchy

Problema: ¿Cómo atrapar un león en una superficie con borde?

Solución: Consideremos f como una función León valuada, esto es, que el conjunto de llegada es el de los Leones. Sea \zeta la jaula y consideremos la integral

\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz

Donde C es el borde de la superficie. Según el teorema de Cauchy, esta integral es igual a f(\zeta), entonces, el leon está en la Jaula.

También existen método para físicos teóricos y experimentales, aparentemente es un deporte que está en crecimiento.

Referencias

  • H. Petard, A contribution to the Mathematical theory of big game Hunting, The american mathematical monthly, Vol 45 No. 7. pp. 446-447 (1938)

Espero que el 2012 les traiga prosperidad y éxitos en sus vidas. Al igual que espero que las matemáticas logren un avance importante este año, que nos acerquemos más a la solución de la hipótesis de Riemann, que ojalá decidamos si P=NP o no, que aparezcan más primos gemelos, más primos de Mersenne y más teoremas maravillosos con demostraciones también maravillosas. ¡Le deseo un prospero año nuevo a las matemáticas!

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Demostrando que raíz de 2 es irracional: La demostración de Ivan Niven et. al.

Posted in Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 31 diciembre, 2011

Que raíz de 2 es irracional… eso ya lo sabemos. Lo que nos queda es preguntar: ¿Cual demostración te sabes? Acá les traigo una de Ivan Niven y Maier.

Así como muchas otras demostraciones, supongamos que es racional y escribamos

\sqrt{2}=a/b,

donde la fracción es irreducible, en ese sentido, b es el mínimo valor positivo que puede ir en el denominador, con el cual se puede representar la raíz de 2 como una fracción. Como 1<\sqrt{2}<2, obtenemos que b<a<2b y entonces 0<a-b<b. Por otro lado,

a^2=2b^2

a^2-ab=2b^2-ab

a(a-b)=b(2b-a)

\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{2b-a}{a-b}

Hemos acabado, por que de este modo

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{2b-a}{a-b}

Donde, a-b<b… lo cual contradice la hipótesis.

Como pueden ver, una demostración muy sencilla. Como es de sospechar, este método se puede generalizar.

Referencias

  • E. A. Maier and Ivan Niven, A Method of Establishing Certain Irrationalities, Mathematics Magazine, Vol. 37, No. 4 (Sep., 1964), pp. 208-210

Reconozco que la actividad del blog ha bajado de una manera tremenda (Hasta el punto de ser nula). Debo reconocer que al tomar riendas de este proyecto no medí bien los tiempos, y ahora me está pasando la cuenta.

Para el 2012 (que empieza en 16 horas en el país en el que resido) prometo cuadrar calendario para el blog. Por el momento debo pedir disculpas :( .

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Dios y la Hipótesis de Riemann

Posted in ¡Qué curioso!, Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 19 noviembre, 2011

Ya que esta semana vimos un resultado acerca de la hipótesis de Riemann (El teorema de Levinson), les dejo un comic relacionado con HR.

HR

De seguro reconoces estos dibujitos, fueron tomados de acá: http://abstrusegoose.com/395. Sitio bastante recomendable.

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El teorema de Levinson y la Hipótesis de Riemann

Posted in Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 16 noviembre, 2011

Todos conocemos, hemos escuchado, o al menos hemos visto una referencia a la hipótesis de Riemann. Conocemos que es un problema abierto y bien interesante. Esta entrada no trata acerca de la hipótesis de Riemann (HR), si no acerca de un resultado muy interesante acerca del tema. Veamos

Para repasar lo que es la HR, definamos la función zeta de Riemann

Definición. La función zeta de Riemann se define como

\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}

Esta función está definida para todo s número complejo tal que \Re(s)>1.

Nada de nervios! Tenemos una función contenta definida sobre medio plano (del plano complejo).

Riemann observo que esta puede extenderse (analíticamente) a todo el plano complejo a excepción de s=1 donde tiene un polo. A esto se le llama continuación analítica.

Seguido a esto vienen resultados como que en los pares negativos la función toma el valor de cero, que la función de Riemann cumple una ecuación funcional (la cual se obtiene de la continuación analítica), que \zeta(0)=-1/2, que \zeta(3) (La constante de Apéry) es un número irracional… y cosas así.

Pero volviendo a las observaciones de Riemann, él dijo, “A caramba, parece que los otros ceros (los que no están en los pares negativos) tienen todos parte real 1/2″ Bueno, quizás lo dijo en otras palabras… y en alemán, pero en esencia es lo que dijo. Veamos.

(más…)

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Encontrar todos los enteros

Posted in ¡Dime la solución! by ZetaSelberg on 24 octubre, 2011

Les dejo el problema de la semana,

Encontrar todos los enteros no negativos n tal que existen enteros a y b con la propiedad

n^2=a+b y n^3=a^2+b^2

Feliz semana! La mia anda pesada :(

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60 lo divide

Posted in Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 17 octubre, 2011

Les dejo el problema de la semana

Sean a,b y c tal que a^2+b^2=c^2. Comprobar que 60|abc.

¡Feliz semana!

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Los primos que agrupan, o los primos de Erdös

Posted in Teoría de números aditiva by ZetaSelberg on 14 octubre, 2011

Como vimos en una entrada anterior, existen gran variedad de números primos en teoría de números. Hoy en partícular hablaremos un poco acerca de los primos que agrupan, en inglés Cluster primes. 

Como bien lo dice el título, esta familia de primos fue definida por Erdös (y compañía) en un articulo publicado en enero de 1999 en el journal ‘The American Mathematical Monthly’. Pero veamos la definición

Definición: Un número primo p>2 se llama numero primo que agrupa si es  tal que para todo 0<n< p-2 número natural par, n puede ser escrito como la resta de dos primos q_1-q_2 donde ambos primos son menores o iguales a p.

Muy bien! Examinemos los primeros números primos

p=3: Dado que no hay ningún par que cumpla la condición, tenemos que el caso p=3 se cumple por rango vacio. Entonces es un primo que agrupa.

p=5: El único par a evaluar es 2, y para este caso 2=5-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=7: Dado que la descomposición anterior para 2 sigue funcionando, falta ver los demás pares. Esto es, falta ver el 4. Pero 4=7-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=11: Falta buscar descomposiciones para 6 y 8. 6=11-5, 8=11-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=13: Falta buscar descomposición para 10. 10=13-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=17: Falta buscar descomposición para 12 y 14. 12=17-5, 14=17-3. Entonces es un primo que agrupa.

Hagamos un último caso

p=19: Falta buscar descomposición para 16. 16=19-3. Entonces es un primo que agrupa.

¡Buuu! :mad: Aparentemente… ¡Todos los primos agrupan!… No!

Resulta que por la concentración de primos entre cero y noventa (por ejemplo) los primeros 23 primos impares agrupan. El primer número primo que no agrupa es el 97 (intente descomponer 88 de modo que se cumpla la condición).

Pero entonces, ¿Hay infinitos? Infortunadamente, no lo sabemos. En dicho artículo se hizo la observación que, de haber infinitos, se podría demostrar que p_{n+1}-p_n\leq 6 para infinitos valores de n, del cual sólo sabemos, como vimos en esta entrada, que funciona para 16 en lugar de 6.

Cómo único consuelo, nos queda saber el siguiente teorema

Teorema: Sea \pi_c(x) la cantidad de primos que agrupan menores o iguales a x, entonces para todo entero positivo s, existe un número positivo x_s tal que

\pi_c (x)<\displaystyle\frac{x}{(\log x)^s}

para todo x>x_s.

Referencias

  • Cluster Primes, Richard Blecksmith, Paul Erdös, J. L. Selfridge, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 1 (Jan., 1999), pp. 43-48.

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Es cuadrado perfecto

Posted in Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 10 octubre, 2011

Les dejo el problema de la semana

Sea n>1 un numero entero y p número primo tal que n divide a p-1 y p divide a n^3-1. Mostrar que 4p-3 es un cuadrado perfecto.

 

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