Lo fascinante de la teoría de números

Demostrando que raíz de 2 es irracional: La demostración de Ivan Niven et. al.

Posted in Teoría Analítica de números by ZetaSelberg on 31 diciembre, 2011

Que raíz de 2 es irracional… eso ya lo sabemos. Lo que nos queda es preguntar: ¿Cual demostración te sabes? Acá les traigo una de Ivan Niven y Maier.

Así como muchas otras demostraciones, supongamos que es racional y escribamos

\sqrt{2}=a/b,

donde la fracción es irreducible, en ese sentido, b es el mínimo valor positivo que puede ir en el denominador, con el cual se puede representar la raíz de 2 como una fracción. Como 1<\sqrt{2}<2, obtenemos que b<a<2b y entonces 0<a-b<b. Por otro lado,

a^2=2b^2

a^2-ab=2b^2-ab

a(a-b)=b(2b-a)

\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{2b-a}{a-b}

Hemos acabado, por que de este modo

\sqrt{2}=\displaystyle\frac{2b-a}{a-b}

Donde, a-b<b… lo cual contradice la hipótesis.

Como pueden ver, una demostración muy sencilla. Como es de sospechar, este método se puede generalizar.

Referencias

  • E. A. Maier and Ivan Niven, A Method of Establishing Certain Irrationalities, Mathematics Magazine, Vol. 37, No. 4 (Sep., 1964), pp. 208-210

Reconozco que la actividad del blog ha bajado de una manera tremenda (Hasta el punto de ser nula). Debo reconocer que al tomar riendas de este proyecto no medí bien los tiempos, y ahora me está pasando la cuenta.

Para el 2012 (que empieza en 16 horas en el país en el que resido) prometo cuadrar calendario para el blog. Por el momento debo pedir disculpas :( .

5 comments

Seguir

Get every new post delivered to your Inbox.

Únete a otros 43 seguidores