Encontrar todos los enteros

Posted in ¡Dime la solución! by ZetaSelberg on 24 octubre, 2011

Les dejo el problema de la semana,

Encontrar todos los enteros no negativos $n$ tal que existen enteros $a$ y $b$ con la propiedad

$n^2=a+b$ y $n^3=a^2+b^2$

Feliz semana! La mia anda pesada

1 comment

Una respuesta

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J. H. S. said, on 21 noviembre, 2011 at 2:13 am

Supongamos que $n \in \mathbb{N}$ es tal que su cuadrado es igual $a+b$ y su cubo es igual a $a^{2}+b^{2}$ . Se cumple entonces que

$0 = a^{2} + (n^{2}-a)^{2} - n^{3} = 2a^{2}-2n^{2}a+n^{3}(n-1)$

y por tanto, el discriminante de $2X^{2}-2n^{2}X+n^{3}(n-1)$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Dicho discriminante es

$4n^{4} - 4(2)(n^{4}-n^{3}) = 4n^{3}(2-n)$ .

Por tanto, los únicos números naturales que satisfacen las restricciones dadas son $1$ y $2$ .

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