Lo fascinante de la teoría de números

Los primos que agrupan, o los primos de Erdös

Posted in Teoría de números aditiva by ZetaSelberg on 14 octubre, 2011

Como vimos en una entrada anterior, existen gran variedad de números primos en teoría de números. Hoy en partícular hablaremos un poco acerca de los primos que agrupan, en inglés Cluster primes. 

Como bien lo dice el título, esta familia de primos fue definida por Erdös (y compañía) en un articulo publicado en enero de 1999 en el journal ‘The American Mathematical Monthly’. Pero veamos la definición

Definición: Un número primo p>2 se llama numero primo que agrupa si es  tal que para todo 0<n< p-2 número natural par, n puede ser escrito como la resta de dos primos q_1-q_2 donde ambos primos son menores o iguales a p.

Muy bien! Examinemos los primeros números primos

p=3: Dado que no hay ningún par que cumpla la condición, tenemos que el caso p=3 se cumple por rango vacio. Entonces es un primo que agrupa.

p=5: El único par a evaluar es 2, y para este caso 2=5-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=7: Dado que la descomposición anterior para 2 sigue funcionando, falta ver los demás pares. Esto es, falta ver el 4. Pero 4=7-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=11: Falta buscar descomposiciones para 6 y 8. 6=11-5, 8=11-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=13: Falta buscar descomposición para 10. 10=13-3. Entonces es un primo que agrupa.

p=17: Falta buscar descomposición para 12 y 14. 12=17-5, 14=17-3. Entonces es un primo que agrupa.

Hagamos un último caso

p=19: Falta buscar descomposición para 16. 16=19-3. Entonces es un primo que agrupa.

¡Buuu! :mad: Aparentemente… ¡Todos los primos agrupan!… No!

Resulta que por la concentración de primos entre cero y noventa (por ejemplo) los primeros 23 primos impares agrupan. El primer número primo que no agrupa es el 97 (intente descomponer 88 de modo que se cumpla la condición).

Pero entonces, ¿Hay infinitos? Infortunadamente, no lo sabemos. En dicho artículo se hizo la observación que, de haber infinitos, se podría demostrar que p_{n+1}-p_n\leq 6 para infinitos valores de n, del cual sólo sabemos, como vimos en esta entrada, que funciona para 16 en lugar de 6.

Cómo único consuelo, nos queda saber el siguiente teorema

Teorema: Sea \pi_c(x) la cantidad de primos que agrupan menores o iguales a x, entonces para todo entero positivo s, existe un número positivo x_s tal que

\pi_c (x)<\displaystyle\frac{x}{(\log x)^s}

para todo x>x_s.

Referencias

  • Cluster Primes, Richard Blecksmith, Paul Erdös, J. L. Selfridge, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 1 (Jan., 1999), pp. 43-48.

5 comments

5 comentarios

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  1. Miguel Lacruz said, on 14 octubre, 2011 at 4:30 pm

    Me pregunto si a partir de la estimación sobre \pi_c(x), usando la fórmula de sumación por partes, se puede deducir un corolario al estilo del resultado de Brun, algo así como que la serie \displaystyle{\sum \frac{1}{p}} es convergente, o al menos que la serie \displaystyle{\sum \frac{1}{p\log p}} es convergente; la suma se extiende a los primos que agrupan.

    Responder
  2. ZetaSelberg said, on 14 octubre, 2011 at 4:49 pm

    Sí! :D . Se puede demostrar que la suma de los recíprocos converge. No sé por qué no lo coloqué en la entrada… fue muy egoista de mi parte o lo pasé por alto :( . Pero nunca es tarde. El mismo artículo de Erdös y compañia lo demuestra de una manera bien sencilla :)

    Teorema: La suma de los recíprocos de los primos que agrupan converge.

    Demostración: Si hay finitos primos que agrupan, la suma converge, dado que es una suma finita. Suponga que hay infinitos primos que agrupan, denote q_n como el n-ésimo primo que agrupa. Consideremos el estimativo de la entrada con s=2, entonces, existe n_0 tal que para todo n>n_0

    \displaystyle\pi_{c}(q_n)<\frac{q_n}{(\log(q_n))^2}

    Por otro lado, por la definición de la función \pi_c, tenemos que \pi_c(q_n)=n, además observe que q_n>n, luego \log q_n>\log n. Usando estos resultados obtenemos

    n<\displaystyle\frac{q_n}{(\log n)^2}

    Escrito de otra forma

    \displaystyle\frac{1}{q_n}<\frac{1}{n(\log n)^2}.

    Sumando desde n_0 hasta infinito obtenemos

    \displaystyle\sum_{n>n_0}\frac{1}{q_n}<\sum_{n>n_0}\frac{1}{n(\log n)^2}.

    Pero la suma de la derecha converge. De modo que por el test de comparación,

    \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{q_n}<\infty

    :D

    Responder
  3. Miguel Lacruz said, on 14 octubre, 2011 at 5:17 pm

    ¡Bonita demostración! ¡Muchas gracias y siga usted así! ;)

    Responder
  4. J. H. S. said, on 20 febrero, 2012 at 12:38 am
    Responder
  5. J. H. S. said, on 20 febrero, 2012 at 12:42 am

    @Miguel:

    Sobre su pregunta original, la respuesta es sí. La identidad de Abel junto con la información que se tiene para la función contadora de los primos que agrupan implican que

    \sum_{p>x_{s}} \frac{1}{p} \leq \int_{x_{s}}^{\infty} \frac{du}{u\log^{s} u},

    donde la suma de la izquierda es, naturalmente, sobre los primos que agrupan.

    Responder

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