Lo fascinante de la teoría de números

Irreducible

Posted in ¡Dime la solución!, Números primos by ZetaSelberg on 1 agosto, 2011

Empezamos la semana con dos problemitas sencillos.

Demostrar que la fracción

\displaystyle\frac{21n+4}{14n+3},

es irreducible para todo n número natural

IMO (1959) – Dia 1

El otro

Considere la sucesión a_n=\{\lfloor n\sqrt{n}\rfloor\}, donde n recorre los naturales. Sea r cualquier número natural distinto de cero, demostrar que para infinitos números n, a_n es una potencia de r.

Pensando en el problema anterior, me surgió esta pregunta

Considere la misma sucesión del problema anterior. ¿Existen infinitos n tal que a_n es primo?

Alguna idea con este último.

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3 comentarios

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  1. J. H. S. said, on 2 agosto, 2011 at 4:30 pm

    Para el primero, basta con notar que para cada n \in \mathbb{N} se cumple que

    (-2)(21n+4)+(3)(14n+3)=1.

  2. J. H. S. said, on 12 octubre, 2011 at 9:04 pm

    Para el otro, si N_{k} = r^{2k} entonces a_{N_{k}} = N_{k} \sqrt{N_{k}} = (r^{2k})(r^{2k})^{1/2} = r^{3k}.


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