¿Qué es la teoría de Números?

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Y bien ZetaSelberg, ¿Qué es aquello que tanto te fascina?

La teoría de números se resume en estudiar las propiedades de los números, los enteros en gran parte. Estas propiedades son del estilo: números primos, representaciones de números como sumas de otros, números irracionales, números trascendentes…

Teoría de números es una rama de las matemáticas que se sub-clasifica en muchas:

• Teoría analítica de números (Mi favorita )
• Teoría algebraica de números
• Teoría combinatoria de números
• Teoría computacional de números

y más (Formas modulares, aritmética de números, geometría de números…).

Los griegos trataron problemas relacionados con el tema, como las soluciones enteras a ecuaciones lineales con dos incógnitas. Conforme a como avanzaba el tiempo y las épocas surgían nuevos problemas; Pitágoras al aplicar el ‘teorema de Pitágoras’[1] a el triángulo con catetos iguales a uno, supo que la hipotenusa no tenía un tamaño entero, Arquímedes notó que la razón del perímetro del círculo y el diámetro era constante, , el problema vino al querer saber si era racional…

El componente principal en la teoría de números, son los números primos.

Un número se dice primo si es diferente de uno y sus únicos divisores son uno y él mismo.

Los números primos forman el componente principal en el estudio de los números enteros, todo esto por el teorema fundamental de la aritmética

Todo número entero positivo se factoriza de manera única en el producto de potencias de números primos

Y como es de esperarse…

Existen infinitos números primos

Euclides

Esto hace parte de algo que se llama teoría elemental de números (Que se vé en un curso normal de teoría de números). Los grandes avances se ven cuando se logra relacionar estos conceptos con otras ramas, como el análisis real y complejo, el álgebra, teoría ergódica, geometría, topología, combinatoria, probabilidad, etc. Todo esto logra enriquecer la materia, dándole herramientas para su búsqueda de propiedades y logrando avances significativos. A modo de comentario personal, Dirichlet y Euler hicieron un punto de quiebre en la forma en como se estudiaba la teoría de números. Euler con su refutable fórmula[2]

Y su afirmación

En sentido de que la suma de los inversos de los primos diverge como el logaritmo del logaritmo. Dirichlet, con su brillante teorema, más importante es la forma en la cual lo prueba,

Si y son primos relativos[3] entonces la progresión aritmética tiene infinitos primos

Fueron los que mostraron una luz de lo que hoy se denomina teoría analítica de números.

La gama de resultados acerca de teoría de números usando estas herramientas es amplia.

Si bien es importante conocer de donde surge la teoría de números, más interesante es ver qué propone, ver a fondo las preguntas que trata y las soluciones que logra. Fascinantes cosas se han logrado y se están tratando acá…

[Conjetura] Todo número par mayor a cuatro puede escribirse como la suma de dos primos.

Golbach

[Teorema] La ecuación no tiene soluciones enteras si .

Fermat – Wiles

[Conjetura] Existen infinitos primos tales que es primo.

[Teorema]Todo número positivo puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados.

Waring

[Conjetura]Los ceros no triviales de la función Zeta de Riemann

Tienen parte real .

Riemann

[Teorema] Los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente grandes.

Green – Tao

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[1] En verdad este teorema no es de Pitágoras, si se vé en el sentido de quien lo descubrió. Este teorema se sabía desde antes de los pitagóricos.

[2] Ambos miembros de la igualdad divergen.

[3] Primos relativos: dos números se dicen primos relativos si los primos en la factorización del primero, no aparecen en la factorización del segundo.